四维超混沌Chen 系统的有限时间同步

周子渝 侯 晨 周有嶒 冯 瑜*

（玉林师范学院 数学与统计学院，广西 玉林537000）

随着科学技术飞速发展，人们的信息保密工作变得越来越重要.而如今，混沌加密是应用最广泛的通讯保密技术。由于正的Lyapunov 指数会使吸引子运行轨迹会变得互不相关，而它们的轨道将很快变得互不相关，以致混沌系统对初始条件具有很高的敏感依赖性，即完全相同系统对于极小差异的初始条件，其运行轨迹存在着很大不同，这使混沌加密成为信息安全领域研究一大热点[1]。

自1990 年，Pecora L M 和Carroll T L 提出了混沌同步的方法，首次采用驱动- 响应系统实现了两个系统的同步[2]，使混沌系统应用到信息保密通信领域成为可能. 早期应用的混沌系统是低维的，其安全性并不高，由于密钥空间不够，易受到外来明文的攻击，其密钥也容易被破译。随着研究的深入，越来越多的研究学者发现低维混沌系统存在着不安全性与局限性，开始转向对超混沌系统进行研究. 超混沌系统因其密钥空间的复杂性，在很大程度上提高了通讯保密工作的安全性，为信息安全领域提供了丰富的信息源。如[3]-[4]探讨了不同种类的超混沌系统的有限时间同步问题。

只有混沌信号达到同步状态才能正确解密，从而得到正确的明文信息。迄今已提出了各种实现混沌信号同步方法，如驱动- 响应同步法、投影同步法及自适应同步法等[5]。本文主要运用驱动- 响应同步法，利用合理的控制器，对四维超混沌Chen系统进行定性分析研究，使两个超混沌系统达到同步状态。

1 基本定义

定义2：设x˙=f（x）+g（x）u 为控制系统，其中u 为控制函数，V（x）为正定函数且是该系统的一个控制Lyapunov 函数，若函数V（x）是无穷可微的，则由LgV（x）=0（x≠0）可得到LfV（x）＜0。[3]

2 确定参数系统的有限时间同步

基 于Lyapunov 函 数 稳 定 定 律，取 参 数（a，b，c，d）=（35，3，12，7，0.2）时，系统处于超混沌状态。其中x1，x2，x3，x4为系统的状态变量，a，b，c，d，r 为系统实参数。

四维超混沌Chen 系统[6]：

其中（1）式为驱动系统，（2）式为响应系统，为使（1）式与（2）式达到同步状态，在（2）式中每个方程右边都加上系统同步控制变量ui（i=1，2，3，4），令ei=yi-xi（i=1，2，3，4）为（1）式和（2）式之间的状态误差。

则误差方程为：

证明 由题设知。

（e1，e2，e4），即e1=e2=e4=0，从而

所以V（e）是系统（4）的控制Lyapunov 函数。

引理2 选取控制器为[6]

时，在有限时间T 内使得（1）式与（2）式达到同步状态。

3 仿真研究

本文考虑响应系统在控制器作用下与驱动系统的同步仿真，在有限时间同步仿真研究中，选取系统参数值（a，b，c，d）=（35，3，12，7，0.2），驱动系统及响应系统所取初始值分别为（x1，x2，x3，x4）=（2-4 3-1），（y1，y2，y3，y4）=（4-1 2-3）时间步长t=0.0002s，再利用MATLAB 软件进行数值仿真，我们发现驱动系统（1）将在时间T=6s 内与响应系统（2）达到同步，确定参数系统仿真结果如图所示。分析得出，仿真结果与理论分析结果一致。