对函数对应法则的一种认识与应用

孟辛亥

(甘肃省华亭市第一中学 甘肃华亭 744100)

函数的对应法在函数概念中居于核心地位，极为抽象。教师在高一函数入门教学中，常常有学生在学习有关函数的问题中出错。[1]为了避免此类错误，笔者在最近几年的教学中，总结了比较通俗的方法，理解和应用这一要素，收效较好。

方法提出：把函数的对应法则理解为“加工厂”(不妨认为是木材加工厂)。

理论依据：一是因为函数(Function)在中文意义中就含有“功能，操作，程序”之意。二是函数是变量的数学，而加工厂的原材料也可以是变化的。

应用举例：如f(x)=x2-2x+3，不妨可以理解为：f是一个木材加工厂，( )内的x可先视为原材料“杨木”，其加工的成品为x2-2x+3，加工程序是“杨木的平方减去它的2倍，再加3”。那么，f(t)=t2-2t+3，便可理解为在同一加工厂(f)的操作下，当原材料变为t(柳木)时，程序是不变的，加工的成品自然为t2-2t+3。以下具体示例。

一、求函数解析式或求函数值

例1：若f(x+1)=x2-x+2，求f(x)。

解法1：分析：由于产品x2-x+2中无法看出原材料x+1(如杨木)的成分，故可变形显示其成分，明确其程序。即配凑法。

由f(x+1)=x2-x+2=(x+1)2=3(x+1)+4，可得：

加工厂(f)的加工程序是“原材料的平方减去它的3倍再加4”，从而f对新材料x(柳木)的加工程序也应该是相同的，即产品是“柳木(x)的平方减去它的3倍再加4”，那么，有f(x)=x2-3x+4。[2]

解法2：换元法。令x+1=t，则x=t-1，由原函数易得：

f(t)=t2-3t+4

如此可得：

加工厂(f)的加工程序是“原材料的平方减去它的3倍，再加4”。从而，易得f(x)=x2-3x+4。

二、求函数的定义域

解：由于是同一加工厂，其对原材料的加工程序是一样的。同时，我们可以要求它对原材料的大小尺寸也是同一个范围。因而，三种原材料“杨木”(x)和“柳木”()、“松木”()所要求的范围是相同的。而“杨木”(x)的范围易求为 (-2，2)。从而有

例2：已知f(x-1)的定义域为[-1，5]，求f(2x-1)的定义域。

解：由上可知，同一加工厂对原材料的要求范围是相同的。因而，“杨木”(x-1)和“柳木”的范围是相同的。又因为，所求和所给的都是基本元x的范围。可以先求出f(x)的定义域，故有：

即“杨木”(x-1)的范围是[-2，4]，从而f(x)的定义域是[-2，4]。

则f(2x-1)的定义域为。

参考练习：

2.(08江西，文3) 若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数的定义域是( )

3.(05江苏，17) 17.已知a，b为常数，若

f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，

则5a=b=____。

附参考答案：1.C， 2.B， 3.2.

以上是笔对函数对应法则的一点粗浅认识，希望能对同学们关于函数的学习提供一点帮助。