对一个抛物线问题的追根溯源

周跃佳

[摘  要] 文章尝试解决一道抛物线问题并进行推广，从圆锥曲线的角度进行一般化探究，收到了较好的效果，并对圆锥曲线试题的命制提供了更广阔的思路.

[关键词] 抛物线;圆锥曲线;一般化

问题

笔者在新型冠状病毒防控期间的线上答疑时遇到了这个问题，带领学生进行解答探究的同时，对问题追根溯源，得到了圆锥曲线的一般化结论，并对圆锥曲线试题的命制提供了更广阔的思路.

题目：已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F且不垂直x轴的直线与抛物线交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，则 =________.

解答：设直线l为抛物线的准线，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，线段AB的垂直平分线交AB于点D. 设AB的倾斜角为θ，过点B作BE⊥AA1，交BE⊥AA1于E. 由抛物线的定义可得：AF=AA1，BF=BB1，所以AF-BF=AA1-BB1=AE.又AD=BD，AF-BF=（AD+DF）-（BD-DF）=2DF，所以AE=2DF，cosθ= = ，从而 = = .

从以上解答过程可以看出，结果与抛物线的方程没有关系，y2=2px中无论p为何值， 结果都为 ，那么这个问题是不是就没有什么研究价值了呢？不然，这个问题背后藏着宝藏！？摇？摇？摇？摇？摇

推广

通过GeoGebra画图软件作图和计算可以发现，在椭圆和双曲线中，相应的 值不再是 ，而是随着离心率e在变化，但在变中蕴藏着不变. 图2中显示的是当椭圆离心率为0.7时， =0.35，图3中显示的是当双曲线离心率为1.34时， =0.67. 可以猜想到： = ，当我们任意变化圆锥曲线时，依然存在以上关系，当曲线为抛物线时，离心率e=1，也适合这个结论.

通过探究我们可以得到圆锥曲线关于焦点弦、焦点弦中垂线的有关性质.

性质1：已知抛物线y2=2px的焦点为F，过点F且不垂直x轴的直线与抛物线交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，则 = = （e为抛物线的离心率）.

性质2：已知椭圆 + =1（a>b>0），其中一个焦点为F，过点F且不垂直x轴的直线与椭圆交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，则 = （e为椭圆的离心率）.

证明：在△AFF2中，设AF=m，AF2=2a-m，由余弦定理知，

（2a-m）2=（2c）2+m2-4cmcosθ，

化简得：AF=m= ，同理可得：

BF= . 又由于AD=BD，

AF-BF=（AD+DF）-（BD-DF）=2DF，

所以DF= ，

故FC= = ，

而AB= ，所以 = .

也可以利用椭圆的第二定义，类似抛物线的方法证明.

性质3：已知椭圆 + =1（a>b>0），其中一个焦点为F，过点F且不垂直y轴的直线与椭圆交于点A，B，线段AB的垂直平分线交y轴于点C，则 = （e为椭圆的离心率）.

性质3类似于性质2可证，此处从略.

性质4：已知双曲线 - =1（a>b>0），其中一个焦点为F，过点F且不垂直x轴的直线与双曲线交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，则 = （e为双曲线的离心率）.

由上面的讨论，可以归纳出一般结论：

定理：已知圆锥曲线C，过焦点F且不垂直于坐标轴的直线与曲线C交于点A，B，线段AB的垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点C，则 = （e为圆锥曲线的离心率）.

例1：已知圆锥曲线C，过焦点F且不垂直于坐标轴的直線与曲线C交于点A，B，线段AB的垂直平分线和线段AB交于点D，和焦点所在坐标轴交于点C，FC=AD，则该圆锥曲线是（  ）

A. 椭圆 B. 双曲线

C. 抛物线？摇？摇 D. 都有可能

例2：已知抛物线y2=2px的焦点为F，过点F且不垂直x轴的直线与抛物线交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，FC=2，求AB.

例3：已知椭圆 + =1（a>b>0），其中左焦点为F，过点F且不垂直x轴的直线与椭圆交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，若FC= AB，求椭圆的离心率.

例4：已知双曲线 - =1（a>b>0），右焦点为F，过点F且不垂直x轴的直线与双曲线交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，若FC=AB，求双曲线的渐近线方程.

圆锥曲线的变化过程中蕴藏着大量不变的关系，老师在指导学生解决问题的同时，不能只停留在问题的表面，应该深挖知识内涵，追根溯源，揭示问题的本质，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.