注重性质拓展，巧解k值问题
——以反比例函数图像两条性质应用为例

江苏省南京市金陵中学西善分校 (210041) 郭源源

近年来，以反比例函数图像为载体的试题，形式多变，结构多样，新颖独特，且蕴藏着丰富的数学思想方法，已然成为了中考的热点问题之一．这类试题主要呈现两个特点：一是“易融性”，双曲线中可以融入各种图形，三角形、平行四边形、矩形、菱形、梯形等无一不在其中，考查双曲线与各种图形的联系，并借助它们的联系求面积或k值；二是“易联性”，以双曲线为主线，关联各种方法，既可用运算较多的解析法求解，也可用思维灵活的面积法求解，兼顾到数和形两种思维特点，综合考查学生的分析问题和解决问题的能力．这类试题不仅可以反映出学生扎实的基本功，还可以体现出创造性的思维品质．本文笔者结合自己在教学中的实践所得，提炼拓展反比例函数图像的性质，并以近些年的中考题为例，谈谈这类拓展性质在解题中的应用，与同仁交流、分享．

一、拓展性质

过反比例函数图像上任意一点，分别向两坐标轴作垂线，则其与坐标轴围成的矩形面积为|k|．这是反比例函数中k几何意义，是最基本的图像性质．与此同时，笔者通过此类题型的研究，还归纳了反比例函数图像中两条拓展的性质．

图1

性质1 如图1，点A、B是双曲线上不同的两点，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为点C、D，则S△AOB=

S梯形ABDC．

图2

证明：过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，垂足分别是点C、F，AC、BF交于点H，延长EA、DB交于点G．

由相似知识还可以得到AB∥ED．

二、性质应用

图3

点评:平面直角坐标系中求类似于△OAB这样的三角形面积，通常用的是间接求法，以割补法为主．但在双曲线中，这样的三角形可以借助转化，变成直角梯形快速求解．

图4

点评:本题可借助点和点之间的关系，利用参数理出所有点的坐标，再通过面积列方程求解．但若能熟练两个拓展的性质，可直接推理出图形几部分面积的关系，划归面积，求出|k|．

图5

点评:本题条件繁多，图形复杂，然而通过转化划归后，可变成例2的问题模型．△ADE借助平行转化,等积成△ADO，再借助性质1，等积成梯形AFGD，而AC=3DC借助性质2可推理图形几部分的面积比，不需设任何参数就能直接算出k．

图6

点评:本题的分析有两个着眼点，一是点M为矩形对角线的交点，即暗示了点M为GN中点，借助性质2可得到面积比；二是四边形ODBE面积的处理，借助性质1，转化成等积的矩形EFAB．抓住这两点，题目易解．

三、写在最后

反比例函数的k值和面积问题，涉及的知识面广、跨度大、联系紧、综合性强，试题结构新颖且多变，解题方法灵活且多样．要求学生有扎实的数学基本功，能灵活运用所学知识，会多角度思考分析问题.[1]在反比例函数性质的教学中，应抓住最基本最重要的性质，即|k|的几何意义，它是所有k值和面积问题的根本．笔者认为，在探究课本性质的同时，可以带领学生尝试探究反比例函数图像的拓展性质．因为这些性质都是一脉相承，运用拓展性质，掌握好图形面积划归的方法，可以加深对反比例函数本质的理解，从而感悟转化划归、数形结合的数学思想．

一个好的解题方法，应以学生的理解为基础，以解题的高效为动力，以帮助学生全面深刻地看透此类问题为根本，达到“练一题，学一法，通一类”的目标.[2]如本文中的面积转化法，是源于对|k|几何意义的理解，是各项知识的综合运用，可以通解所有此类问题．教学中，题只是知识方法的一个素材，通过解题的过程，理解知识的原理，提炼方法的本质，对比解法的优劣，感悟问题的通性通法．只有这样，解题才能摆脱题海，走向高效．