如何让学生获得“合理的工作量”
——“两角和与差的余弦公式”教学设计分析

江苏省海门中学 (226100) 樊陈卫

数学教育家G·波利亚在他的名篇《怎样解题》一书开篇中提到，数学教师最重要的任务——帮助学生.“学生应当获得尽可能多的独立工作的经验.但是，如果把问题留给他一人而不给他任何帮助，或者帮助不足，那么他可能根本得不到提高.而如果教师的帮助太多，就没有什么工作留给学生了.教师应当帮助学生，但不能太多，也不能太少，这样才能使学生有一个合理的工作量.”这个“合理的工作量”在建构主义教学理论中便是学生知识体系的自主建构，在新课程教学理念中便表现为“让学生经历数学思维活动过程，积累数学活动的经验”，用一线教师的通俗说法就是让学生动起来，让课堂气氛活起来.这就需要教师在教学设计时应当对学生状况有充分的了解，对数学探索方法充分掌握，然后对教学内容根据以上两个“充分”进行精心设计，从而实现让学生获得合理的工作量，让课堂活起来的意图.现以“两角和与差的余弦公式”这一节的知识点教学为例，与读者一道分享设计思路演进过程.

一、初始设计

总体设计思路为情境创设与提出问题——猜想与否定——公式探究与推导——公式应用——回顾小结.具体过程：

(1)设置如下问题情境：某圆锥形机械元件，底面半径为5，母线与地面所成的角为15°，求该圆锥的母线长.从这个实际问题中产生数学问题“cos15°如何求”.

(2)猜想：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°，验证是否成立.

(3)公式探究

两角差 让学生完成如下填空：

图1

两角和 你能根据两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式吗？比较归纳两个公式的异同特征.

(4)公式应用

正用：不用计算器求cos75°和cos105°.

逆用：cos55°cos35°-sin55°sin35°=;

cos87°cos27°+sin87°sin27°=;

cos53°cos8°+sin53°sin8°=;

cos18°cos27°-sin18°sin27°=;

cos(27°+α)cos(33°-α)-sin(27°+α)sin(33°-α)=.

(5)归纳

二、评价与反思

对于初始的教学设计，从教学过程中学生的思维活动深度与广度这个角度出发，分析各个环节学生的工作量，第一个环节中需要学生建立一个数学模型，但这个模型比较简单，思维工作量属于初等；第二个环节有学生通过计算器计算验证等式是否成立，如果没有计算器，需要从数值的正负角度判断等式是否成立，存在少量思维量；在第三个环节公式探究中，学生只需沿着已经安排好的思维路径完成系列计算，就能得到两角差的余弦公式，学生的思维活动量就是完成基本的代数运算，仍属于初等阶段；第四环节应用阶段，存在公式的正用、逆用、综合性正用等，思维量属于中等。通过以上分析，可以看出作为一个知识点新授课，应用环节学生思维的工作量属正常，但在整个知识点的生成环节学生缺少明显的思维工作量.这样的教案设计属于常规设计，在日常教学中非常普遍，体现了教学的实际工作主要以应试为目标，但从新课程教学理念，发展学生的核心素养角度看，显然不太到位.如何让学生获得更多的工作量，基于从波利亚的教学思想(《怎样解题》)，对初次教学设计中缺乏学生思维活动的环节进行再次设计.

三、再次设计

(1)情境引入

由于原设计中的情境问题实质仅仅由一个立体几何问题产生一个“cos15°如何求”的问题，对本课题产生引导、启迪作用不太明显，也缺乏一定的新意.所以直接选择开门见山的方式：判断下列各式是否成立？

①cos(0°-60°)=cos0°-cos60°；

②cos(60°-30°)=cos60°-cos30°；

③cos(60°-45°)=cos60°-cos45°.

三个等式成立与否的判断中，等式③中cos15°不容易求得，如何判断？学生需要一定的分析，从应用计算器和三角函数值符号两个角度入手进行判断.判断结果中三个等式成立、不成立两种情形都存在，在此基础上判断命题：如果α,β为两个任意角，则cos(α-β)=cosα-cosβ是否成立.再顺势提出问题：如何根据60°,45°两个角的三角函数值求cos15°，引出课题“两角和与差的余弦公式”.

(2)公式猜想与探究

原设计中，学生没有获得一定的思维工作量，如果直接让学生去推导公式，学生很难有这个能力完成，教师提供恰当的帮助，探究中引导学生先猜再验证.怎样让学生猜出来？设计活动如下：

观察表中的数据，你能利用表中前4个数据计算出最后一个数据吗？

cos90°cos60°sin90°sin60°cos(90°-60°)01213232cos120°cos60°sin120°sin60°cos(120°-60°)-1212323212

玩过类似游戏吗？24点游戏怎么算的？根据学生的进展状况，教师在合适的时机可以给部分学生如下提示：

思考：能否对cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ进行检验？

意图：对猜想出来的公式进一步进行检验，让学生的知识建构得以强化，同时培养学生严谨的思维习惯.

(3)公式推导

任务1:课前提供向量数量积相关知识的复习任务.

意图：一方面考虑部分学生的知识基础相对薄弱，公式证明过程中所需的向量数量积有关知识有所遗忘.另一方面由于两角差的余弦公式推导方法思考的角度很多，由于角度太多学生往往无从下手，而利用向量数量积的方法推导是众多方法中比较简捷易掌握的方法。通过知识点的复习，为学生顺利发现并利用向量方法成功推导公式作了铺垫.

任务2:课中提供如图1单位圆，及角α,β的终边，对于具体的推导工作，留给学生探索完成.在探索的过程中，学生可能会在各个环节遇到思维的阻塞，教师给出合适的思维提示：

①盯住目标，即要证明的公式，如何将问题与这个图形对应起来？

②能否从图中寻找角α-β的终边，在图中那些几何对象可以对应公式中的量cosα,cosβ,sinα,sinβ？

③回忆曾经学过哪些知识点中用到角的余弦值？

④观察要求证的公式，向量的数量积有不同的表示方法吗？

意图：教师给学生的提示性问题，如果指向性弱、普适性强，学生需要自身的思维活动量就较多，同时解决问题的难度也较大；反之，指向性强而普适性弱，学生自身思维活动量减少，解决问题的难度也减少.这里设计的4个提示性问题普适性逐步减弱，指向性逐步增强，通过四个提示性问题的逐步依次呈现，不同层次的学生再不同提示阶段找到了解决问题的方案，最终使得尽可能多的学生获得合理的工作量和数学活动经验.

任务3:课中小组活动，教师提供如下思维视角来扩展学生思维：尝试利用图2推导公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

图2

任务4:课后进一步探究两角差的余弦公式的其它证明方法.

通过经历层层递进的公式探究推导过程，让不同层次的学生都能实现知识体系的自我建构，同时又获得数学思维方法的运用体验，实现数学素养的发展.

四、一点启发

学生之间存在知识储备、数学素养与能力等各个方面的差异，教师在教学中如何能照顾不同层次的学生，让所有同学在自身基础上获得相应的发展，这是实际教学中的一个难点，需要教师对不同层次的学生给予相应恰当的帮助，需要教师在把握学生具体学习状态的基础上，善于借助波利亚教学思想，设计不同层次的提示性问题，调控数学活动的广度与深度，让学生真正的数学思维活动得到激活，在这个前提下配合适当的小组活动，从而真正地让学生经历数学思维活动过程，积累数学活动的经验，实现知识点的自主建构，学会自主的思考，提升学生数学核心素养水平.