再谈命题的否定与否命题

重庆市涪陵高级中学校 (408100) 张礼勇

1.引言

在普通高中人教A版选修2-1第一章《常用逻辑用语》中，命题的否定和否命题是一个不可或缺但也易混淆的内容，一直以来深受人们的关注，也引发了广大师生热烈的讨论，各种观点不尽相同，也始终没有给出一个明确的结果.尽管针对这一板块的高考试题，人们已总结出一套既有的固定解题模式，况且这些是是非非、颇具争议的问题并不影响高考试题的作答，似乎间，问题的讨论变得没有多大意义了.然而，对于数学教育者而言，秉承的是一种严谨的数学思维，传授的是一种慎密的数学精神，培育的是一种理性的数学素养.让学生知其然，更应该知其所以然，而不仅仅是传授给学生一个又一个的结论和技巧.如果老师都没有“打破砂锅问到底”的治学精神，何谈对学生数学核心素养培养.因此，有必要对学习中出现的一些困惑做一些探讨，以供读者参考.

2.问题与困惑

在高中阶段，有很多教师在讲解命题的否定与否命题的区别时，一般都是这样解释：

但这样的解释是否准确呢？我们来看这样一个题目：

命题“∃x∈R，使得x2+x+5=0”的否定形式为( ).

A．∀x∈R，使得x2+x+5≠0

B．∀x∉R，使得x2+x+5≠0

C．∃x∈R，使得x2+x+5≠0

D．∃∉R，使得x2+x+5≠0

正确答案为A，如果仅仅是为了完成此类题目的解答，我们是有一定的方法：存在命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为全称命题“∀x∈M，p(x)”，全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定为存在命题“∃x0∈M，p(x0)”.

按照这个策略，在本题的解答中，只需把条件中的存在改成任意，结论中的等式变为不等即可.题目虽然完成了，其实在我们心中还是有那么一些困惑：

(1)命题的否定不是“不否定条件，只否定结论”吗？为什么还要把存在改成任意呢？难道存在不是条件吗？

(2)命题“若p则q”的否定难道不是“若p则q”吗？

(3)原命题与命题的否定形式真假性必然相反，上题中原命题“∃x∈R，使得x2+x+5=0”是假命题，但是C答案“∃x∈R，使得x2+x+5≠0”为真命题，那么为什么正确答案不是C呢？

(4)上述命题的否命题如何表示呢？下列写法有正确的结果吗？

A.∃x∉R，使得x2+x+5≠0；

B.∀x∉R，使得x2+x+5≠0；

C.∀x∈R，使得x2+x+5≠0.

3.溯源与释疑

3.1 命题逻辑与一阶逻辑

为了溯本求源，搞清楚上述问题的本质，我们首先有必要弄清楚什么是命题逻辑和一阶逻辑.

所谓命题逻辑(proposition logic)，是一种处理简单的陈述性命题的逻辑，它研究的基本单位是简单命题，对简单命题不再分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系.说简单通俗点，对命题逻辑而言，在命题“若p则q”中，p与q不能是开语句，必须是能判断真假的陈述句，即一个简单的命题.

一阶逻辑(First-orderlogic)，也称谓词逻辑，它不同于单纯的命题逻辑，它对简单的命题再组分，分析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体和总体的内在联系与数量关系.说通俗和局限性一点，一阶逻辑就是在命题逻辑基础上引入存在量词和全称量词的逻辑.

一阶逻辑是对命题逻辑的一种补充和拓展，也可以说命题逻辑是一阶逻辑的子集.本文为了研究方便，把一阶逻辑中含有全称量词和存在量词的逻辑称为量词逻辑，对一阶逻辑的研究也仅限于量词逻辑.

3.2 命题逻辑之充分条件假言命题

3.2.1 重新认识“p→q”

对于命题“p→q”，我们的一般认识是p推出q，即在条件p成立的前提下，结论q成立，那么“p→q”就是一个真命题.但是在数理逻辑中，“p→q”形式的命题被称为充分条件假言命题，它并非按照p与q之间能否推出作为标准来得到命题的真假，而只是从p与q真假关系的角度去处理.其真值表如下：

pqp→q111100011001

注:1表示真,0表示假.

我们从真值表可以看出，p假q真以及p假q假，命题“p→q”都是真命题.这与我们平时的认识有较大的区别，对于高中学生而言还难于理解.从而我们也可以得出结论，只要q真，“p→q”为真；若q为假，只需p为假，“p→q”也为真.因此，“p→q”其实等价于“p∨q”.

另一方面，从集合角度，对于“p→q”，若p为假时，可以理解为空集，而空集是任何集合的子集，故“p实质蕴涵于q”，即“p→q”是真命题.从而，在这种所谓实质蕴涵命题中，前后件不必具有必然联系，而是把意义问题暂置不顾，只考虑p、q真假，不考虑它们的内在内容、意义方面的联系.

从上可以看出，把“若p则q”理解为“p推出q”显然是有局限性的.比如，就充分条件假言命题而言，命题“若3>2,则5=5”为真命题，但不能说由“3>2”推出“5=5”.但是有人肯定有疑问，类似“若1+1=2，则地球围绕太阳转”、“若1+1≠2，则地球围绕太阳转”的命题有什么意义吗？于此，我们在前面也谈到，讨论充分条件假言命题的真假性问题只是一个数学形式化的理论问题，它并不考虑命题之间的内在联系和数量关系.当然在实际运用的时候，人们往往关注的是前提为真时会得出什么结论，也没有人会故意用假的前提来作推理，所以实质蕴涵命题中出现的这个问题不影响逻辑的使用.

3.2.2 重新认识“p→q”的否定

从上面“p→q”的真值表不难得出：只有在前件真而且后件假的情况下，“p→q”才是假，其余三种情况都是真.因此，我们可以得出结论：“p→q”的否定是“p∧q”.但是，“p∧q”与“p→q”又有什么区别呢？事实上，对于“p→q”的理解，与上面对“p→q”的分析理解一样，不能局限于传统的“推出”二字理解，需从前后件真假性角度来分析理解.所以，“p→q”的真假性分析有四种情况，就不单单是“p∧q”这一种情况了！

3.3 一阶逻辑之量词逻辑

3.3.1 量词逻辑的否定

在一阶逻辑里使用了“限量词变量(Quaritifiedvariables)”(如：∃、∀等)的逻辑，我们在本文中称为量词逻辑.在量词逻辑中，前后件之间存在紧密的内在联系和数量关系，命题逻辑的一些相关逻辑规则就不再适用了.

对于量词逻辑的否定，我们不能轻易下结论，我们首先要明确命题否定的意义.根据普通高中人教A版选修2-1第一章《常用逻辑用语》中对命题否定的定义，我们知道了对命题的否定一定是要全盘否定.这就要求我们对命题的否定不光是要从逻辑形式上进行否定，更重要的还要从内容上进行否定.

为了达到对命题进行全盘否定的目的，为了避免防止形式上的问题，最好从集合的角度加以理解和验证，即对一种(或若干种)情况的否定，其实就是找剩余的所有情况，也就是求补集.

但是，在量词逻辑里，最大的问题就是省略量词的情形普遍存在，这就很容易给我们造成误解.为了避免这个问题，我们在对命题进行逻辑分析时，先判断命题是否为量词逻辑，如果是，必须先补充完整省略的量词，这才能有效地防止错误的发生.

如写出命题“若x=1或x=2，则x=1”的否定形式.如果不加以逻辑分析，其否定形式就会贸然写成“若x=1或x=2，则x≠1”，这显然是错误的.正确的做法是，先确定该命题是一个全称命题，然后补充省略的量词后再写为“对任意的实数x=1或x=2，有x=1”，于是其否定形式为一个存在命题“在x=1或x=2中至少有一个x，使得x≠1”.

再如命题“两个无理数的和是无理数”的否定容易错写为“两个无理数的和不是无理数”，正确的做法是先补充省略的全称量词后写为“任意两个无理数之和是无理数”，再写出其否定形式“存在两个无理数，使得它们的和不是无理数”.

3.3.2 量词逻辑的否命题

对于命题的否命题而言，不再需要对整个命题进行否定，因此，全称命题不需要再改为存在命题，存在命题也不需要再改为全称命题.

如命题“在复数范围内，∀x∈R,x2+x+5=0”，其否命题为“在复数范围内，∀x∉R,x2+x+5≠0”.又如命题“∀x∈[-1,1],x2≤4”，其否命题为“∀x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2>4”

当然，否命题的真假，也可以通过判断原命题的逆命题的真假而得出结论.

4.结语

通过对命题逻辑以及一阶逻辑中的量词逻辑的分析，我们从站在数理逻辑的理论高度，力求言简意赅对文首提出的若干疑问进行了解释，希望对我们今后继续学习逻辑推理有一定的积极作用.但是对于高中教材而言，只要求考虑明确地给出条件和结论的命题，对那种易混淆的命题不予考虑；而高中一线教师在实际教学中也仅对教材中涉及的内容进行归纳总结，从而得出一系列的解题结论和技巧，类似“对命题的否定就是条件不变，只否定结论”等也就应运而生，而且在一般情况下还很“实用”.但当遇到较为复杂的命题时，却又感到矛盾重重、力不从心、束手无策了.既要让学生理解数理逻辑的一些基本的知识，又不脱离高中课程标准，这恐怕也是教材编写者和一线教师们该认真思考的问题.