行最简形矩阵的研讨与启发式教学浅析

吴艳 杨有龙

【摘要】对于给定的矩阵，经过一系列的初等行变换，可得到行最简形矩阵，本文以此知识点为切入点，讨论了行最简形矩阵的严格数学定义，并是通过给定的具体矩阵，循序渐进探索了与行最简形矩阵相关的结论。

【关键词】教学方法;数学教育;高等教育;启发式教学;研讨式教学

【基金项目】2013年第三批国家级精品资源共享课立项资助（1040）;西安电子科技大学教学改革项目资助。

【中图分类号】G642.3【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）07-0246-02

大学数学课程的教学目的之一是激发学生思考、开启学生思维，如何在课堂教学中根据知识点循序渐进、逐步展开，既达到了传授知识的目的，又达到了训练学生思维的目的，这是对研讨与启发式教学的基本要求，也是教师教学能力提高的主要方向之一。本文以知识点“行最简形矩阵”为切入点，浅析行最简形矩阵的研讨与启发式教学，为大学数学课程的教学起到抛砖引玉的效果[1-5]。

同济版线性代数[1]第三章“矩阵的初等变化与线性方程组”中对“矩阵的行最简形矩阵”[3，4，6-9]的定义是矩阵经过一系列初等行变换后，得到的行阶梯形矩阵满足两点“最简”[1]：（1）每一行的第一个非零元素为1;（2）这个1所在列的其他元素均为0。对于任意的矩阵，它的行最简形矩阵是否唯一存在？在教材中通过举例，得到结论“由此可猜想到一个矩阵的行最简形A矩阵是唯一存在的”。按照教材的内容实施教学，教师和学生均感觉“行最简形矩阵”的概念是“只可意会不可言传”，“行最简形矩阵唯一存在性”好似空中楼阁，没有理论支持。只有理解“行最简形矩阵”的概念和相关结论理解“列最简形矩阵”的概念和结论，从而使“矩阵的标准型”教学水到渠成。因此“行最简形矩阵”教学重要性显而易见[1，4，5，7]，事实上“行最简形矩阵”的应用也非常重要[3，6，8，9]。本文将给出“行最简形矩阵”的严格数学定义，并探讨“行最简形矩阵的唯一性”，为“行最简形矩阵”的研讨式教学提供思路。

1.数学语言给定义，力求严谨化，锻炼问题的描述和表示能力

教材中称如下的矩阵B1和B2为行阶梯形矩阵，文字描述为“其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0;每个台阶只有一行，台阶数即使非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。”

B=，B=;

B2=，B2=;

关于行最简形矩阵的定义，教材中通过矩阵B2的举例给出，称行阶梯形矩阵B2为行最简形矩阵，“其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都为0。”要求学生根据这些文字描述和具体的特点刻画，给出矩阵A的行最简形矩阵r定义，这一要求将促使学生根据现象，使用数学语言，严谨表达数学定义。

定义1矩阵A的行最简形矩阵r

设矩阵A=（aij）m×n经过一系列初等行变换后为矩阵r=（ij）m×n，当第i行元素不全为零时，记≠0（i≤ik≤n）且ij=0（1≤j≤ik），若r满足：（1）1k<2k<…

上述定义的矩阵r的第1行至第d行不全为零，每一行从左至右第一个非零元素均为1，所在位置的字母表达分别为，，…，，…，，其中1k<2k<…

2.根据定义多实践，力求发现问题，锻炼提出问题的能力

设矩阵A=，让学生求解矩阵A的行最简形矩阵r。学生甲和学生乙求解过程如下：

学生甲：

（E，A）=r-r

→=（P，r）

学生乙：

（E，A）=r-r-r3

→=（Q，r）

所以对于P=，Q=，有PA=QA=，矩阵A的行最简形矩阵为r=。两位同学虽然采用了不同的初等行变换手段，但最后获得相同的结果r，让学生讨论、提出问题，锻炼大学生的理解力和发现问题的能力。最关心的问题：（1）矩阵P和Q可逆吗？（2）矩阵P和Q有什么关系？（3）“矩阵A的行最简形矩阵唯一存在”吗？

3.根据出现的具体问题，通过小组研讨、理清思路，锻炼学生解决问题的能力

由于矩阵P和Q是将单位矩陣分别经过一系列初等行变换而得到的，每一次的初等行变换都是可逆变换，所以矩阵P和Q一定可逆。让同学们求出P-1和Q-1，并比较其异同。

观察P-1=，Q-1=，显然P-1和Q-1的第一、二列完全相同，这是巧合吗？教师提出下面两个具体的命题，让同学们证明。这里注意教学要注重问题的分析和进一步的知识探讨、研讨式教学要注重问题的研究和证明，并给出明确的结论。

（1）若R是一个可逆矩阵，且R-1的第一、二列和P-1、Q-1的第一、二列完全相同，那么RA=r

证明令R-1=，|R-1|==a-b+c≠0，R-1的伴随矩阵

（R-1）？鄢=，

于是

R=，

因此

RA===r

.

（2）若R是一个可逆矩阵，且RA=r，那么Q-1的第一、二列和P-1、Q-1的第一、二列完全相同。

证明设R-1=（rij），于是有

A==R-1r=·=，

通过对比可得

R-1=，

因此R-1的第一、二列和P-1、Q-1的第一、二列完全相同。

（3）矩阵Amn的行最简形矩阵唯一存在。

文[3]指出这个结论的证明并不是很容易，文[6]给出了基于数学归纳法的证明，文[7]也给出了一种新的证法，无论哪一种证明，都需要补充其他知识才容易理解。有兴趣的同学可自己阅读，在教学中不应鼓励所以学生掌握矩阵Amn的行最简形矩阵r唯一存在的证明，但是可通过习题让大家亲身体会这一重要结论，或者告诉学生利用下一章的知识更容易获得唯一性的证明。

4.结束语

随着高等教育的深化改革，课堂教学更应重视启发式和研讨式教学，让学生享受学习，学会学习。教育的目的是促进学生的发展，而能力发展是学生发展的主要标志与核心内容[11]。在数学学习中，学生获得的就不仅是显性的数学符号，而且也包括思想和方法[10]。本文以“行最简形矩阵”的教学切入点，通过建立严密的数学定义，从具体的个例出发，循序渐进的知识展开，严格的推理、积极的求索真相，研究知识的来龙去脉，搞清知识的相互关系，达到训练学生提出问题、理解问题、解决问题能力的目的。

参考文献：

[1]同济大学数学系，工程数学线性代数[M]，第六版.高等教育出版社，2014.

[2]吴艳，杨有龙.浅谈高校青年教师教学能力的培训与提升[J].教学研究.2015（4）：19-21.

[3]曼瑜敏，杨忠鹏.矩阵行标准形与同解线性方程组[J].北华大学学报自然科学版，2006（1）：6-10.

[4]李娜，孙海燕.关于线性代数的几个易错点分析[J].数学学习与研究.2017（5）：3-4.

[5]杨有龙，吴艳.数学教学中的知识学习与能力培养[J].教学研究.2014（4）：62-65.

[6]华玉爱.向量组等价性判定定理[J].山东轻工业学院学报，1998（2）：80-82.

[7]王兴泉.行最简形矩阵的实质及其唯一性的新证明[J].河西学院学.2010（5）：31-34.

[8]王林，赵云河.行最简形矩阵在线性代数中的运用[J].数学学习与研究.2013（5）：109-110.

[9]舒阿秀.行最简形矩阵在线性代数中的重要作用[J].廊坊师范学院学报（自然科學版）.2014（5）：14-17.

[10]谢明初.数学教育的人文追求[J].数学教育学报，2015（1）：6-8.

[11]郭衎，曹鹏，杨凡，刘金花.数学教育的人文追求[J].数学教育学报，2015（2）：17-21.

作者简介：

吴艳（1969-），女，重庆云阳人，副教授，主要研究方向为数学教学方法和创新思维研究。

杨有龙（1967-），男，陕西蒲城人，博士，现为西安电子科技大学数学与统计学院教授、博导，教学方面的主要研究方向为数学教育与教学管理。