借“题”理法，研“题”悟教

杨春鸟

[摘  要] 题目是在职教师研究的课题之一，教师需要深入分析题目的价值与特点，结合题目的思维轨迹，引领学生感悟其中的方法与价值，从而将题目的价值与教学的策略巧妙地融合在一起，达成理法悟教的效果.

[关键词] 解题;方法;初中数学

原题呈现

题目 如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4. E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上一动点.

（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形;

（2）当△PEF的周长最小时，求的值;

（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP=45°时，求CP的长.

解析  （1）如图2，连接AC，交EF于点O. 由对称可知OA=OC，AC⊥EF，所以AF=CF. 因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，可得△OAE≌△OCF，所以AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，所以平行四边形AFCE是菱形.

（2）如图3，因为△PEF的周长=PE+PF+EF，又EF的长为定值，所以△PEF的周长最小时，即PE+PF最小. 作点E关于直线CD的对称点E′，连接FE′交DC于点P′，则PE+PF=PE′+PF≥E′F，因此，当点P与点P′重合时，△PEF的周长最小.

因为AB=2，AD=4，所以AC=2，所以OC=. 由△COF∽△CBA，得=，所以CF=，所以DE=BF=4-=. 由画图可知DE′=DE=，由△DE′P∽△CFP，得==.

（3）如图4，设BP交AC于点Q，作BN⊥AC于点N. 因为∠EMP=45°，所以OM=OQ，NQ=BN. 由AB·BC=AC·BN，得2×4=2BN，所以NQ=BN=. 在Rt△ABN中，AN==，所以AQ=AN+NQ=，CQ=AC-AQ=.由AB∥CP，得△ABQ∽△CPQ，得=，解得PC=.

评析 本题为纯几何压轴题，题干简洁，图形简明，分步设问，步步深入，梯度明显，且解题思路自然，起点低，入口宽，既突出了一个“通”字——通性和通法，确保了大多数考生能得到理想的分数，又深化了一个“活”字——思维的灵活性与层次性，确保了较好的区分度.

解法归纳

本题第（3）问，解法灵活多样，阅卷中发现了学生有近20种方法，现将三种典型的方法思路归纳如下，以供参考.

1. 思路1：构造等腰直角三角形

利用条件“∠EMP=45°”构造等腰直角三角形，除试题解析中的“作BN⊥AC于点N”外，还可以如图5，“作EN⊥BP于点N”;如图6，“作BN⊥EF于点N”;如图7，“作PN⊥BP交直线EF于点N”等等，不再一一列举.

2. 思路2：建立平面直角坐标系

利用条件“矩形”建立平面直角坐标系，如图8. 设P（4，a）.由l：y=2x-3，l：y=x，l：y=-x+2可求得a=.

3. 思路3：形成“角含半角基本模型”

利用條件“90°与45°”形成“角含半角基本模型”. 如图9，过点B作BN∥EF交AD于点N，就形成“角含半角”，为此又可形成一系列的方法，如“旋转”，如图10，将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△P′BC′;构造“一线三等角”，如图11;构造“相似”，如图12，作AH=AN， CG=CP，等等.

教学启示

1. 关注“思维拓展”，更要“基础过关”

尽管本题是一道纯几何压轴题，但从题目呈现的难度看，充分体现了“低起点，缓坡度，突出基础”的特点. 第一问起点低，学生容易上手，先根据对称的性质得到相关的数量关系和位置关系，再根据全等或者其他途径得到菱形的判定条件. 第二问以第一问为基础和梯子，且题源常规——八年级的课题学习“最短路径问题”与八年级上习题13中的“将军饮马问题”合二为一，可谓源于教材. 因此在平时的教学中，我们首先要理解初中阶段数学的核心基础知识是形成数学能力的重要载体和抓手，基础永远是考查的主体，对学生数学学习的考核与评价首先体现在基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验四个方面. 其次要认识到“基础过关”是“思维拓展”的前提，拒绝空中楼阁、过度拓展. 在教学和复习中优秀的做法应是立足基础，挖掘教材中典型的例、习题，不断让学生从课本基础知识开始问题的分析、解决与变式思考，这样学生才能厚积薄发，其思维能力、理解能力、思辨能力以及运用数学知识解决问题能力的提升才会水到渠成.

2. 注重“以图分析”，更要“分析画图”

从题目呈现的结构特点看，第（3）问与第（1）问是递进关系，与第（2）问是并列关系. 第三问从学生最熟悉的45°出发，但需要学生“补图”. 这样可以“多考想，少考算”，体现“算”与“证”的本质，有助于从知识考查走向能力立意考查. 因此在平时的教学中，我们一方面要规避烦琐的运算过程，“以图分析”“以图助数”，放大“图”的地位与功能，持续引导学生把握几何中的“算”不是死算，需要有“运”的过程、“计”的方法;几何中的“证”是推理，是“寻道”，更是“发现”. 另一方面更要理解识图、画图是几何教学的关键，要坚持引导学生注重习题的“逻辑”“文图”结构，通过“构图补形”，化隐性为显性、化抽象为直观;要让学生经历画图分析“关联的问题”“隐含的条件”的过程，深度体验图形的再生长、再发现、再创造的路径与方法，不断加强对学生的几何直观、逻辑推理及探究转化能力的培养.

3. 注重“一题多解”，更要“多解归一”

从题目呈现的思路特点看，解答的方法很多，学生答题时选择的余地较大，但从“思路归纳”中可看到许多不同的方法的实质都是一样的. 因此在平时的教学中，我们一方面要注重“一题多解”，引导学生展开多角度、多层面的探究，尝试从不同角度寻求解题的路径，打通知识间的联系，迁移拓展思维空间，以弥补学生知识的空缺，不断唤醒学生思维的创造，激发探究的兴趣;另一方面更要注重“多解归一”，引导学生进行题后回顾反思，思考不同中的相同，“以不变应万变”提炼“分离的图形”“同类的问题”“思路的关键”“方法的本质”，揭示问题的深层结构，促进学生积累基本图形与基本思路，优化思维过程与方法.

解题是一种本领，悟题更是一种能力. 作为一线教师借“题”理法，更要研“题”悟教，不断调整教学的目标与内容、优化教学的行为与方式，这样才能加快推进初中数学教学“遵循课标，夯实基础”“立足教材，摆脱题海”“学为中心，发展学力”等良好生态的形成.