压杆失稳引起的振动分析

尚仁杰

(中冶建筑研究总院有限公司 北京 100088)

引言

压杆广泛应用在各类结构中，压杆最关键的问题是整体稳定问题。欧拉最早提出了细长压杆失稳变形的弹性曲线问题，并用椭圆积分表示了细长压杆失稳变形挠曲线方程的精确解，目前，求解压杆稳定的方法有很多[1,2]，但是，基本都是求解静力问题，或者是动态屈曲研究[3-5]，很少去研究失稳的动力过程[6-8]，而实际工程中失稳都伴随着突然的变形，引起强烈的振动。

对于轴向受压的细长弹性理想直杆，给杆件以微小侧向干扰使其稍微弯曲，则在去掉干扰后会出现两种不同情况：当轴向受压较小时，压杆最终恢复其原有直线形状；当轴向受压较大时，干扰会引起压杆侧向振动，并离开直线位置。可见，在轴向压力逐渐增大的过程中，压杆经历了两种不同性质的平衡状态：稳定直线平衡态和不稳定直线平衡态。理想轴心压杆，当轴向压力小于临界荷载Fcr时，压杆保持直线稳定平衡，见图1b的OA段；当压力超过Fcr时，杆件既可以在直线平衡段AC，也可以在弯曲平衡段AD，AC段是不稳定平衡状态，任何微小的扰动都会使其离开直线段AC而失去稳定，两种平衡的临界点A对应的荷载就是临界荷载Fcr。由于压杆在AC段积累了应变能，失稳时应变能的释放会引起压杆的侧向振动。失稳往往伴随着突跳[9]，是瞬间的、快速的，本文就是研究从AC段不稳定直线平衡态失稳引起的振动以及失稳过程的时间。

图1 压杆及F-w示意Fig.1 Compressive bar and equilibrium path curve

1 压杆失稳过程微分方程

假设受压杆长度为2L，如图1所示，两端靠位移加载，加载到一定程度后控制两端的位置不动，分析压杆的稳定性，以及失稳的过程。

压杆失稳后产生侧向弯曲变形，变形后曲线方程可按式(1):

(1)

其中：w(t)为压杆中间点侧向位移值，是时间的函数。

压杆各点侧向位移速度为：

(2)

压杆变形曲线各点斜率为：

(3)

压杆变形曲线各点曲率为：

(4)

t时刻，压杆侧向运动的动能：

(5)

压杆失稳弯曲后曲线微段长度：

(6)

压杆曲线长度：

压杆长度变化：

(7)

失稳过程压杆界面弯矩为：

(8)

根据欧拉公式，压杆的临界荷载为：

(9)

设压杆压力达到临界值的α倍，即：

(10)

0时刻，压杆还未弯曲变形时，轴向压缩的应变能为：

(11)

t时刻，失稳侧向弯曲过程中弯曲应变能可根据式(8)积分得到：

(12)

t时刻，压缩应变能：

(13)

(14)

根据能量守恒：

EMt+EPt+EKt=EP0+Ek0

(15)

(16)

(17)

(18)

2 失稳过程振动分析

将方程(18)简化为：

(19)

2.1 无扰动，

①当α<1时，只有零解，w(t)=0。

②当α=1时，也只有零解，w(t)=0，原因是两端有轴向约束，要失稳，需要轴向压缩变形才可以。这与一般的临界荷载时失稳有些不同。

(α-1)aw2(t)-bw4(t)=0

(20)

(21)

压杆达到新平衡位置时轴向变形新增：

压杆内力为：

(22)

重新达到临界轴力Fcr。

2.2 有微小扰动，为微小量

①当α<1时:

(23)

②当α=1时：

(24)

压杆失稳后找到一个新的平衡位置w(t2)，达到w(t1)后开始返回。

从失稳开始到振动到最大位置的时间可通过数值积分[10]得到：

(25)

由此可以计算出失稳过程的时间。

3 算例

钢压杆，截面圆管，外径100mm，壁厚5mm，长度2L=10m，弹性模量E=2×1011N/m2，截面积A=1.492×10-3m2,截面惯性矩I=1.688×10-6m4，线密度m=11.71kg/m。

临界荷载：

α=1.25时，得到:

α=1.5时，得到:

α=2时，得到:

图2 压杆失稳过程相图Fig.2 Phase diagram of buckling of the bar

图3 压杆失稳过程时间-位移图Fig.3 Displacement-time curve of buckling of the bar

临界力Fcr=3.332×104N对应的应力为22.4MPa，10m长压杆压缩变形为1.12mm，加载采用位移控制加载，α=2对应的杆件压缩为2.24mm，如果加载在0.1s内压力达到α=2，压杆在α=1前失稳时由于来不及产生足够的侧向变形，压力会继续增大到α=2，积累应变能，随后产生侧向振动，侧向振动能量耗散后达到平衡位置，轴向力仍为Fcr；如果缓慢加载，压杆会在临界力前侧向失稳，来不及加载到α=2而产生大幅度弯曲，轴向力保持为Fcr。

4 结论

本文通过能量守恒推导了理想压杆失稳动力学过程的微分方程，通过微分方程分析和算例分析，可得到以下结论：

1.控制压杆两端位移的情况下，失稳过程微分方程可表达为：

2.当轴向压力不大于临界荷载时，振动为平衡位置的自由振动；

4.压杆失稳过程的位移-时间曲线见图3，轴向压力越大，失稳速度越快。

需要说明的是，本文是假设两端位移控制加载，当用荷载控制加载时，失稳过程会有所不同。