流场下格子-动力学晶体生长的模拟

王 鑫，杨斌鑫

(太原科技大学应用科学学院，太原 030024)

相场方法作为一种免于追踪固-液界面的模拟方法，一直是国内外学者研究聚合物结晶的重要工具，但是传统的相场法在求解界面精度问题时，计算过程中需要极高精度的解析度，这样会使实验模拟结果发散。通过耦合格子玻尔兹曼方法，避免了高精度的解析运算，允许时间步长设置的较大，并且实验数据不会出现发散现象。

在实际加工生产中，熔体降温凝固过程中会发生对流现象，聚合物熔体会受到流场的影响，结果与静态结晶相比较，会直接影响到聚合物制品的最终形状和作用[1]。相对于实验理想状态下无流场的情景，流动诱导聚合物结晶生长是聚合物制品加工成型的关键之处，更具有实际意义。目前，流动诱导聚合物结晶学包含结晶动力学、结晶流变学和结晶形态学三个方面[2]，前两个方面的研究成果与实验数据相对较为丰富，而对于流动影响聚合物结晶形态的数值模拟较少。基于Karma[3]的纯扩散相场模型之上，Tong等[4]和Beckermann等[5]构建了耦合流场的相场模型，并在强迫对流的实验情景下对枝晶的生长形貌进行了数值模拟；Huo H等[6]发现在不同过冷度下，剪切流场与聚丙烯晶体生长速率的关系，而Keller等[7]研究发现，当剪切速度为某一临界值时，完全伸展的链段会变成串晶。受到实验环境以及数据误差的影响和限制，流场下的聚合物枝晶生长还存在需要解决的问题[8]。

本文在Wang等[9]的相场模型基础上，使用了张晨辉等[10]的改进模型来建立相场控制方程，使用多松弛的格子玻尔兹曼方程模拟温度控制方程并耦合流场，研究流速，界面厚度，驱动力参数对聚合物(ipp)结晶形貌的影响。

1 格子-动力学耦合模型

1.1 相场方程

模拟过程中，本文考虑聚合物熔体是均匀的，从而忽略相变分离所引起的浓度变化。根据张晨辉等的相场模型，相场控制方程为：

(1)

1.2 耦合流场的温度方程

使用D2Q9的多松弛格子玻尔兹曼方程代替一般的温度场方程，避免了在低过冷度下，由于尖端速度变小使得对时间步长的要求更为严苛[13]。通过运用格子玻尔兹曼方程，允许时间步长设置的较大。动力学温度分布函数[14]为：

fi(x+cΔt,t+Δt)-fi(x,t)=

-M-1S[m(x,t)-meq(x,t)]

(2)

M=

(3)

对角矩阵S用紧缩法可写成

S=

diag(1.0,1.4,1.4,s3,1.2,s5,1.2,1.2,s7,s8)

(4)

其中，s7=s8=2/(1+6v)，v为流体运动粘度，s3和s8可以为任意值，此处设为1.0.

则耦合流场的温度控制方程为：

(5)

方程(1)和方程(5)构成了格子-动力学耦合模型。

2 耦合模型的数值解

2.1 耦合模型无量纲化

(6)

(7)

2.2 初始条件和边界条件

在数值模拟中假设过冷后的聚合物熔体均匀的铺满整个二维计算区域，在二维求解区域的中心有一个半径为r的初始晶核，且晶核内部相场Ψ的值为ξ0，在晶核外部相场Ψ的值为0，整个求解区域的初始温度为0，则初始条件为：

x2+y2≤r2，ψ=ξ0

x2+y2≥r2，ψ=0

3 数值模拟

3.1 流速对枝晶形貌的影响

图1 不同流速下对结晶聚合物的形态Fig.1 Morphology of crystalline polymer under different flow velocity

3.2 界面厚度对枝晶形貌的影响

图2所示在同一时间，相同流速，相同实验温度，不同界面厚度下的聚合物结晶形貌。在时间t=3 000 Δt下，(a)，(b)，(c)，(d)的界面厚度分别为ε=0.6；ε=0.8；ε=1.0；ε=1.2.观察得出，随着界面厚度的增加，顺流方向枝晶尖端的半径和成长速率都会随之增长，结晶聚合物整体生长加速，二次分支更加茂密，晶体越发硕大。

图2 不同界面厚度下对结晶聚合物的形态Fig.2 Morphology of crystalline polymer with different interface thickness in flow field

3.3 驱动力参数对枝晶形貌的影响

图3所示在同一时间，流速相等，实验温度一定，驱动力参数不同的条件下的聚合物枝晶形貌。时间为t=3 000 Δt，(a)，(b)，(c)，(d)的驱动力参数W分别为W=1.0；W=2.0；W=3.0；W=4.0.由图3观察到，随着驱动力参数W的增加，晶体越来越大，生长越快，与增加界面厚度出现相同的情况，二次分枝生长更为茂密，迎流方向和顺流方向的枝晶都生长出许多细小分枝。由此可见，适当的增大驱动力参数的数值，可以促进整体结晶聚合物的生长和枝晶的多次分枝。

图3 不同驱动力参数下对结晶聚合物的形态Fig.3 Morphology of crystalline polymer with different driving force parameter in flow field

4 总结

使用新建立的格子-动力学耦合模型，数值模拟了不完全结晶聚合物(ipp)在复杂流场下的结晶形态，并分析各个参数对结晶形貌的影响，得出结论：(1)随着流速的增加，顺流方向的枝晶生长得到促进，逆流方向的枝晶生长受到抑制，导致晶体的不对称性增大；(2)在相同的流速下，界面厚度越大，枝晶生长越迅速，二次枝晶越发达；(3)改变驱动力参数数值的大小，聚合物晶体生长速率发生改变，随着驱动力参数增大，晶体在同一时间下越来越大，整体枝晶分枝生长更加茂盛。