环R+vR+v2R 上的斜常循环码

王艳萍①

（宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州234000）

0 引言

1994 年Hammons 等人研究二元线性码［1]. 近些年，很多学者将重点转移到有限环上，研究各类有限环如有限链环、非链环等各类环上的循环码、常循环码等［2-6]；渐渐地，斜循环码、斜常循环码也被广泛研究. 比如文献［7-12]，通过研究斜多项式环、进而构造自同构，以用来讨论对应环上的斜循环码的若干性质；在文献［13-15]中，分别探讨各类不同环上的斜常循环码，从而得到相关的性质. 本文首先介绍环R+vR+v2R(v3=v)上的一个Gray 映射，研究环上码的一些性质；然后，给出环上的斜常循环码，并证明环上码的充要条件；最后，在给出一些特定的条件下，探究环上对偶码的若干性质. 本文的研究为代数编码理论提供一些理论依据.

1 预备知识

令ℜ=R+vR+v2R={x+vy+v2z|x,y,z∈R}，其中v3=v，且环R是以＜λ ＞为极大理想；p为奇数，它是剩余域的特征. 若无特殊说明，下文出现的环ℜ 即为环R+vR+v2R. 设环R是有限链环，易得环ℜ 并不是有限链环.

设e1=2-1v+2-1v2,e2=-2-1v+2-1v2,e3=1-v2，可知e1,e2,e3是环ℜ 上两两相互正交，且它们为幂等元，而＜e1＞={e1a|a∈ℜ} ，＜e2＞={e2a|a∈ℜ} ，＜e3＞={e3a|a∈ℜ} 是 环ℜ 上 的3 个 相 互 互 素 的 理 想，则ℜ ≅⊕⊕

对∀X,Y∈ℜn，X=(x1,x2,…,xn) ，Y=(y1,y2,…,yn) ，定 义 内 积：X∙Y=x1y1+x2y2+…+xnyn，如 果X∙Y=0，称X,Y正交. 对于环ℜn上的线性码C，则它的对偶码：C⊥={x|x∙y=0,∀y∈C}，如果C=C⊥，称C为自对偶码. 并定义：

则由文献［16]可知：（1）C1,C2,C3为R上的长为n的线性码；（2）C=e1C1+e2C2+e3C3，且这种表示是唯一的.

2 Gray映射

定义φ：ℜ →R3，对∀c=e1x+e2y+e3z∈ℜ,x,y,z∈R，有φ(c)=(x,y,z)，且wL(c)=wH(x,y,z). 将φ扩展成Φ：ℜn→R3n，对∀c=(c0,c1,…,cn-1)∈ℜn，有

定理1C为ℜ 上长是n的线性码，则有：

（1）C⊥也是环ℜ 上的线性码；

（2）Φ(C)=

（3）Φ(C⊥)=

3 斜常循环码

定义1如果对∀c=(c0,c1,…,cn-1)∈C有：

此时定义中的为环ℜ 上的一个自同构，定义中的λ是环ℜ 的单位，而为ℜn上的自同态，则可称C为斜常循环码常循环码）.

注1上述中，若λ=1，可称码C是斜循环码；λ=-1，可称码C是斜负循环码.

定义2环ℜ 斜多项式环：其加法运算：一般的加法；其乘法运算则可知是非交换环.

注2如果则可得的左理想，未必是理想. 通过的中心来阐述，也就是对有h(x)∙g(x)=g(x)∙h(x).

引理1设n是N+为上述定义中的自同构，1+v-v2为ℜ 上的一个单位则以下条件是相互等价的：（1）为的理想；（2）xn-(1+v-v2)为的中心.

证明（1）⇒（2） 因＜xn-(1+v-v2)＞为的理想，则对于∀ax∈ℜ，有

有

即得xn-(1+v-v2)为的中心.

（3）⇒（1） 由理想的定义，显然结论成立.

注3（1）下述研究的内容：限制条件为＜xn-(1+v-v2)＞是的理想；（2）设上述的满足则

其中θ也是环R上的一个自同构.

定理2设C=e1C1⊕e2C2⊕e3C3，则可得：C是θˉ-(1+v-v2)-常循环码⇔(1)C1,C3为环ℜ 上的斜循环码；（2）C2为环ℜ 上的斜负循环码.

证明假设

则

又因

定理3假设有C=e1C1⊕e2C2⊕e3C3，它是环ℜ 上的常循环码，而C1=＜g1(x)＞，C2=＜g2(x)＞，C3=＜g3(x)＞，其中右整除右整除xn+1，g3(x)也右整除xn-1，则可得：存在唯一有C=＜g(x)＞成立，并且有g(x) 右整除xn-(1+v-v2) ，

证明（1）首先证C=＜g(x)＞.

假设g(x)=e1g1(x)+e2g2(x)+e3g3(x)，则C⊆

（2）下面证g(x)右整除xn-(1+v-v2).

因g1(x)右整除xn-1，g2(x)右整除xn+1，g3(x)右整除xn-1，则必存在f1(x)，f2(x)，f3(x)有

又因

则有

即证结论成立.

即得结论.

4 对偶码

假设上述定义的自同构θˉ是2阶的，即并定义下面研究的内容限制条件：（1）是偶数.

定理4码C是环ℜ 上的线性码，则有：C为常循环码⇔C⊥为常循环码.

证明“⇒” 若C为常循环码，则知对∀u=(u0,u1,…,un-1)∈C有

即

得

也就是C⊥为常循环码.“⇐”类似可证.

下述引理2可参照文献［18]类似方法，得出下列性质.

引理2设则下述所给出的结论相互等价：

定理5设C的长度为偶数并且C为常循环码，C=＜g(x)＞，其中g(x)是首一的多项式，此时则可得

（2）C⊥=且C⊥是常循环码.

证明（1）因所以

5 小结

本文首先通过构造映射，给出环R+vR+v2R(v3=v)的Gray 映射，研究环上码的一些性质. 然后构造环上的自同构，讨论环上的斜常循环码的性质. 最后给出在特定条件下：（1）长度是偶长度的，（2）所给自同构阶数为2，在这2个条件下的对偶码的部分性质. 为代数编码理论中寻找好码提供很好的帮助.