含有指数函数的Riccati微分方程通解的充要条件

2020-06-29 11:55叶永升
关键词:伯努利淮北常数

戴 伟,叶永升

(淮北师范大学 数学科学学院,安徽 淮北235000)

0 引言

Riccati微分方程

其中:P(x),Q(x)和R(x)为连续函数. 此方程于1841年被法国数学家刘维尔证明了没有初等解法,但是人们通过适当的变换可以把它化为可解的方程类型,然后再代回原来的变量得到Riccati微分方程的解.或者根据P(x),Q(x)和R(x)之间的关系寻找具有特殊形式方程(1)的解. 在文献[1]中,已知方程(1)的一个特解yˉ(x),通过变换y=z+yˉ,方程(1)就可化为关于变量z的伯努利(Bernoulli)方程. 而在文献[2-11]中,当P(x),Q(x)和R(x)满足一定条件时,方程(1)也可以通过初等积分法求解. 文献[12-15]介绍利用变量变换法求解微分方程的技巧. 由此,本文利用变量变换法,当P(x),Q(x)和R(x)满足一定条件时,给出一类Riccati微分方程存在通解的充要条件.

1 主要结果及其证明

引理1[1]设伯努利(Bernoulli)方程为其中:P(x)和Q(x)是连续函数. 则此方程的通解为

其中C为任意常数.

定理1Riccati微分方程(1)存在形如

证明为证明方便,设

必要性. 设方程(1)的通解为式(2),则将式(2)代入式(1)得

整理得

显然,y=-ke-x是方程(3)的解.

设z=y+ke-x,则方程(3)可变为由引理1得,

y=-ke-x+为任意常数.

类似可得下面定理.

定理2Riccati 微分方程(1)存在形如的通解充要条件为其中:k为常数,C为任意常数.

根据定理1和定理2,我们可得下列2个推论.

推论1若Q(x)=2kP(x)e-x,R(x)=k2P(x)e-2x+ke-x,则Riccati微分方程(1)存在形如

的通解,其中:k为常数,C为任意常数.

推论2设Q(x)=2kP(x)ex,R(x)=k2P(x)e2x-kex,则Riccati微分方程(1)存在形如的通解,其中:k为常数,C为任意常数.

2 应用举例

例1求微分方程的通解.

解这里P(x)=4x3,Q(x)=8x3e-x,R(x)=4x3e-2x+e-x,显然

由推论1可知方程的通解为其中C为任意常数.

例2求微分方程的通解.

解这里P(x)=cosx,Q(x)=4excosx,R(x)=4e2xcosx-2ex,显然故k=2.

由推论2可知方程的通解为

其中C为任意常数.

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