公民科学素质“数学与逻辑基准”的核心与追求

罗俊丽，乔希民，陈淑萍

（1.商洛学院数学与计算机应用学院，陕西商洛 726000；2.商洛市科学技术协会，陕西商洛 726000）

2000年，科技部、教育部、中宣部、国家科协、共青团中央联合制定了《2001—2005年中国青少年科学技术普及活动指导纲要》和《2001—2005年中国青少年科学技术普及活动内容与目标》，明确界定了科学素质的概念。2002年，国家颁布《中华人民共和国科学技术普及法》。2006年，国务院先后颁布了《国家中长期科学与技术发展规划纲要（2006—2020）》和《全民科学素质行动计划纲要（2006—2010—2020年）》（简称《科学素质纲要》），后者把公民科学素质界定为：“公民具备基本科学素质一般指了解必要的科学技术知识，掌握基本的科学方法，树立科学思想，崇尚科学精神，并具有一定的应用它们处理实际问题、参与公众事务的能力。”[1]这是国家首次以文件形式规范了“科学素质”的意义。2016年2月，国务院办公厅印发《全民科学素质行动计划纲要实施方案（2016—2020）》指出：“目前我国公民科学素质水平与发达国家相比仍有较大差距，全民科学素质工作发展还不平衡，不能满足全面建成小康社会和建设创新型国家的需要。”同年4月，科技部和中宣部正式印发了《中国公民科学素质基准》[2]（简称《科学素质基准》），为国家公民科学素质建设工作提供了指导和监测指标体系，为各地各部门衡量公民科学素质提供了依据和标尺，也为公民提高自身科学素质指明了方向。上述纲领性文件的最终目标是每一位公民生活在富强、民主、文明、自由、公正、法治、诚信的美好和谐社会里，并促进人类社会的健康发展。当前学界关于公民科学素质或素养的研究相对较多[3-10]，但尚无围绕“数学与逻辑基准”进行研究的报道。本文以《科学素质基准》数学基准为切入，结合案例分析，探讨了该基准的核心内容，以期在促进《科学素质基准》的准确把握和公民科学素质提升方面提供些许助力。

一、数学与逻辑思维能力基准的核心

《科学素质基准》指中国公民应具备的基本科学技术知识和能力的标准，其最终目的在于推进公民科学素质提升，促进公民“掌握基本的科学方法，树立科学思想，崇尚科学精神，并具备一定的应用它们处理实际问题、参与公共事务的能力”[2]。围绕这一目的，《科学素质基准》确立了以26条基准为框架、132个基准点为核心内容的中国公民科学素质体系[2]。本文所谓的“数学与逻辑基准”全称“数学与逻辑思维能力基准”，属于《科学素质基准》体系中第10个基准，主要围绕公民“掌握基本的数学运算和逻辑思维能力”这一监测评估点而设定，另一方面也为公民提高自身科学素质提供了衡量尺度和指导。本基准主要包含6 个基准点：（1）掌握加、减、乘、除四则运算，能借助数量的计算或估算来处理日常生活和工作中的问题。（2）掌握米、千克、秒等基本国际计量单位及其与常用计量单位的换算。（3）掌握概率的基本知识，并能用概率知识解决实际问题。（4）能根据统计数据和图表进行相关分析，做出判断。（5）具有一定的逻辑思维能力，掌握基本的逻辑推理方法。（6）知道自然界存在着必然现象和偶然现象，解决问题讲究规律性，避免盲目性。

其中，（1）（2）两个基准点涉及的内容与能力要求，正常情况下，公民通过小学、中学的系统学习，能够基本掌握。（3）（4）（5）（6）四个基准点的内容与能力要求，相对难度较大，要求较高，公民往往需要专业的学习才能达到，当前大部分受过大学教育的公民往往也不具备或未完全拥有这四个基准点的能力要求。基于此，本研究认为（3）（4）（5）（6）这四个基准点应该为数学与逻辑基准的重点。这4个基准点中，（3）（6）两个基准点涉及的内容主要属于概率论的研究范畴，可将其合并为一个基准点。如此，则“数学与逻辑基准”的核心内容可概括为三个基准点：（1）具备一定的逻辑思维能力、掌握基本的逻辑推理方法。（2）掌握概率论的基础知识，并能客观地运用概率知识分析和解决实际问题，明晰世界存在着必然现象和偶然现象，解决问题讲究规律性，避免盲目性。（3）掌握运用统计数据，尊重客观事实，深刻分析数据所显现的规律，以此做出正确判断。

二、以逻辑推理为核心的公理化思想

人类在思考或解决问题过程中，喜欢从最基本（或最原始）的概念出发，并以此为基础给出一组定义及自明命题（公理），再经过严谨逻辑推理和论证，形成新的命题或定理，从而保证这一过程及其思考或与解决问题所涉及的系统中的所有命题都能够顺利完成。而逻辑方法中最容易为人们所接受且最具典型性的方法是亚里士多德发明的三段论，它是一种以包含着共同项的两个性质命题作为前提，推出一个新的性质命题为结论的演绎推理。这样就形成了最初的最基本的公理化思想体系，它是人们在实践活动中不断地将片断、零散、杂乱的大量实证材料进行整理甚或发明创造而形成的一门完整的、严谨的、系统的科学体系。欧几里得《几何原本》无疑是公理化方法古典皇冠上的明珠，较为完善地体现了从原始概念和原始命题（即公理、公设）出发，按照一定的逻辑规则和逻辑思维规律，定义出其他相关的概念与推演出其相关命题的一种演绎方法，也成为其他学科公理化体系的范式。

《几何原本》全书共13卷，由131个定义、5个公设、5个公理和466个命题（含1个引理）构成公理演绎系统，为人类理性思维方式与理性精神奠定了坚实基石。明末思想家、科学家、政治家徐光启对《几何原本》极为推崇，认为：“其书，规摹次第，洵为奇矣。题论之首，先标界说；次设公论，题论所据；次乃具题，题有本解，有作法，有推论。先之所征，必后之所恃。十三卷中，五百余题，一脉贯通，卷与卷，题与题相结倚，一先不可后，一后不可先，累累交承，至终不绝矣。初言实理，至易至明，渐次积累。终竟乃发奥微之意。若暂观后来一二题旨，即其所言，人所难测，亦所难信。及以前题为据，层层印证，重重开发，则义如列眉，往往释然而失笑矣……独几何之学，通即全通，蔽之全蔽。”[11-13]徐光启深为“彼士立论宗旨唯尚理之所据”及其“缜密甚矣”的科学精神和西方科学重基础理论探究与科学推理论证的精神所折服，针对当时国人缺失严谨而缜密的逻辑演绎推理，他翻译了最早的《几何原本》文本。

欧几里得《几何原本》[14-15]第一卷提出了“若两条直线相交，则交成彼此相等的对顶角”的命题（15），并给出如下论证：

如图1所示，设直线AB、CD相交于点E，则∠AEC等于∠DEB，且∠CEB等于∠AED。

图1 对顶角相等

这是因为，由于直线AE与直线CD相交，构成∠CEA、∠AED，所以∠CEA、∠AED之和等于两直角[卷Ⅰ，命题13]；又，由于直线DE与直线AB相交，构成∠AED、∠DEB，所以，∠AED、∠DEB之和等于两直角[卷Ⅰ，命题13]。但已经证，∠CEA、AED之和等于两直角，故∠CEA、∠AED之和等于∠AED、∠DEB之和 [公设4和公理1]。从它们中各减去∠AED，则其余的∠CEA等于其余的∠BED[公理3]。类似地，可以证明，∠CEB也等于∠DEA。

本命题虽然简洁明了，但采用了严谨的证据证明方法，缜密的逻辑思维体系，如所用命题13，就是以定义10“当一条直线与另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角中的每一个都是直角，且称这条直线垂直于另一条直线。”公理1（等于同量的量也彼此相等）和公理2（等量加等量，其和相等），以及命题11（此命题应用命题1、3、8及定义10完成）。以此上溯至定义、公设、公理及第1个命题，形成完美严密的逻辑推理体系。这也是《几何原本》的魅力所在。

柏拉图在《理想国》[16-18]里，用大量篇幅阐述数学对于军事具有实用价值，同时认为“满足军事方面的需要，掌握少量的几何学和算术知识就够了”。但柏拉图又将知识视为整个几何学的真正对象，强调了“几何学中大部分较为高深的东西是能帮助人们较为容易地把握的理念”，“几何学是一门永世长存的知识”，“将引导灵魂到达真理，并且引导哲学的智力向上，而这种智力目前被错误地弃之于地面”。柏拉图建议所建构的理想的国家“一定得要求贵理想国公民重视几何学”，深度理解“受过几何学训练对于头脑学习任何学科都是起很大作用”。柏拉图时代的几何学处在非常片断零碎的状态，早欧几里得《几何原本》五十年左右，但柏拉图《理想国》主张人崇尚理性。

徐光启《几何原本杂议》[11]坚信“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得”，引领了人们汲取亚里士多德关于科学理论的思想方法，总结概述古希腊先哲们对几何学的研究成果，建立起古典式公理化方法。《几何原本》以少数基本概念和公理公设系统为基石，运用亚里士多德三段论演绎体系的形式逻辑和逻辑体系，显现几何学是由原始概念、公理公设、命题论证所构成的演绎系统，开科学研究之先河，被称颂为仅次于《圣经》的世界元典式不朽著作而当之无愧。但随着社会的发展和科学的进步，在深度理解先哲们的理论基础和思想方法的前提下，理性质疑反思的批判性思维方式尤为重要，促使人们对《几何原本》中的原始概念、演绎推理基础的公理公设以及出现逻辑错误的反思，德国数学家希尔伯特的《几何基础》所建立起欧几里得几何学的完整的希尔伯特公理体系，使欧几里得几何学成为逻辑结构严谨而完美的几何体系，也使数学公理化方法在数学领域和其他科学领域得到了强有力发展。牛顿自豪地说“几何学的荣耀在于，它从别处借用很少的原理，就能产生如此众多的成就”[19]。

徐光启和利玛窦合译《几何原本》（前6卷）后，李善兰和伟烈亚力于1857年依据15卷版本合译完成了《几何原本》后9卷。后曾国藩于1865年将徐光启、利玛窦本和李善兰、伟烈亚力本并为一书，重校付梓，这是我国第一部《几何原本》足本。其后，金陵书局、上海积山书局等机构依曾刻本为据，进行过多次刊印。1987年内蒙古人民出版社整理出版了五卷的蒙古文《几何原本》。1990年1月，陕西科学技术出版社出版了兰纪正、朱恩宽据希思标准英文版本《欧几里得原本13卷》翻译的《欧几里得·几何原本》[14]，该书2003年发行第2版，2011年又被列入“汉译经典”，由译林出版社重新出版，该译本被称之为“真正付出过严肃认真的学术努力的”[15]当代汉语版本。之后人民日报出版社、陕西人民出版社、江西人民出版社等多家出版社又先后推出了《几何原本》的10多种版本。此外，世界图书出版公司2012年还出版了希思英文版《欧几里得原本十三卷书》。在这众多的版本中，首推江西人民出版社由张卜天翻译的《几何原本》[15]，其定义、定理、公设、命题均为中英文对照读本，可以说是目前继兰纪正、朱恩宽合译后更具有信达雅标准的忠实翻译佳作。无论上述版本质量如何，在不同程度上都推广和普及了纯粹数学的逻辑公理化演绎方法，实现了徐光启《几何原本杂议》提倡的“三至三能”，即“似至晦，实至明，故能以其明明他物至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已”[11-13]。这些足以表明公民数学核心素养有了长足地普及与提高，也了却了徐光启“百年之后，必人人习之”的愿望。

总之，欧几里得《几何原本》所呈现的逻辑演绎推理体系与近代公理化方法在科学方法论和西方思想中的楷模地位难以动摇。牛顿《自然哲学之数学原理》致力于发展与哲学相关的数学，就仿照了《几何原本》的由定义、公理、命题构成的演绎体系；爱因斯坦称《几何原本》是令他儿时感到震撼的神圣的几何读物。在西方思想史方面，它使理性精神清晰可辨，逻辑思维能力推导出新的真理，也能使心灵哲学成为人们行为的向导。徐光启高度颂扬《几何原本》，称“此书有五不可学：躁心人不可学，粗心人不可学，满心人不可学，妒心人不可学，傲心人不可学。故学此者不让增才，亦德基也”[13]。据此，可称《几何原本》为引领人类思维方式的永远璀璨的文化明珠。

三、以分析探究为核心的理性精神

德国古典哲学家黑格尔认为“理性是世界的灵魂，理性居住在世界中，理性构成世界的内在的、固有的、深邃的本性，或者说，理性是世界得到共性”[20]。同时，黑格尔还认为理性是最完全的认识能力，也是思维和认识的高级阶段。马克思主义哲学的观点是：理性通常指在社会实践基础上，从感性认识上升到理性认识的阶段。这些对理性的论述强调了理性是用以表示推出逻辑结论的认识阶段和能力的范畴，是由概念、判断、推理等思维活动所构成，也体现了人的感觉、意志、毅力、信念、情感等心理活动，并且随着时间的推移，人们渐渐清晰地认识到了理性是一系列不会导致矛盾和谬误的过程和方法论，即任何不会将我们指引到矛盾或谬误的过程都是正当的理性，而在无论任何时候，每当我们得到矛盾或谬误，我们就知道我们逾越了理性的边界，也就变得非理性了[21]。在通常情况下，社会学并不以数学为基础，但社会学却依赖于心理学，而心理学反过来又依赖于神经学和认知科学，而神经学和认知科学是基于神经化学和计算机科学的，而后两者都非常依赖于数学。这样，数学思维方式和数学思想方法自然而然成为理性精神形成的源泉。数学化的分析探究方法的思维过程，首先是分析和将分析得出的结果加以综合，其次才是抽象和概括，且后者是前者派生的，又与数学中的综合、类比、联想、化归、归纳、演绎等方法相互渗透与发展。应用这种分析探究的思维方法去思考、观察、计算、解答、推理等，形成理性思维方式，有益于社会共同体成员的和谐相处。

现实生活中，有诸多购买彩票并中奖的理件，但需要强调的是无论何时何地何种彩票，对于彩票都要通过理性分析与思考，并且量力而行，切忌做一夜暴富的发财之美梦。我们知道，中国福利彩票“双色球”游戏规则为：双色球投注区分为由1～33共33个号码组成的红色球号码区和由1～16共16个号码组成的蓝色球号码区，投注选择6个红色球号码和1个蓝色球号码组成一注进行单式投注，每注金额人民币2元。下面以一注为单位，计算每注彩票的中奖概率。

从33个红色球中任取出6个，16个蓝色球中任取出1个，在不考虑顺序的前提下，其基本事件总数为。

一等奖（6+1）：7个号码与当期开奖号码全部相同，即所选的6个红色球号码和1个蓝色球号码只能是开奖号码；即一等奖中奖概率为：

由此可见，中一等奖的概率相当于10亿人里才有不到57个人中奖。这比去买彩票的路上被汽车撞倒或路边楼上掉下的坠物砸中的可能性还要小。

二等奖（6+0）：所选的6个红色球号码与当期开奖红球号码相同，1个蓝色球号码不与开奖的号码相同，故二等奖中奖的概率为：

三等奖（5+1）：所选号码中有5个红色球与1个蓝色球号码与当期开奖红球号码与蓝色球号码相同，故三等奖中奖的概率为：

四等奖（5+0,4+1）：所选号码中有5个红色球号码或4个红色球号码和1个蓝色球号码与当期开奖号码相同，故四等奖中奖的概率为：

五等奖（4+0,3+1）：所选号码中有4个红色球号码或3个红色球号码和1个蓝色球号码与当期开奖号码相同，故五等奖中奖的概率为：

六等奖（2+1,1+1,0+1）：所选号码中有2个红色球号码和1个蓝色球号码或1个红色球号码和1个蓝色球号码或只有1个蓝色球号码与当期开奖号码相同，故六等奖中奖的概率为：

很明显，六等奖虽然中1个蓝色球就可以得5元奖，但拿到六等奖也只有100个人里才有大概不到6个人能中奖，所以即便最容易中奖的六等奖，也是很不容易的。我们无意抨击博彩业，如果完全遵循游戏规则，那么中奖与否无话可说。博彩业正是迎合了人们喜欢凭运气来赌博的心理，如果再不冷静思考，那么就会倾家荡产、妻离子散、家破人亡。对这些游戏的深层次分析，却引导着人们去探讨和研究概率论与统计学，并在博彩游戏中验证这些知识与思想方法。虽然源于15—16世纪赌博问题的想法推动了概率论在股票投资、风险分析、人类学、社会学等方面的广泛应用，其结果可能颇有争议，但其数学基础至少是稳固的，体现在苏联数学家柯尔莫戈洛夫的《概率论导引》[22]所建立的公理体系：（1）所有事件发生的概率为 1；（2）概率值不小于 0；（3）当事件不是同时发生时，概率可相加。正由于概率论公理化体系所具备的独立性、相容性、完备性而成为一门严格的演绎科学，更成为现代社会的很多领域都离不开概率及其思想方法。

综上所述，人的思维是永无止境的。如果我们更深度地提升探究大量随机现象的统计规律的能力，就会研究其核心问题是根据总体中随机抽出的样本里所获得信息来推断总体的性质，就会初步接触到迅猛红遍全球的大数据。1914年诺贝尔物理学奖获得者、德国物理学家劳厄（M.von Laue）说过：“重要的不是获得知识，而是发展思维的能力。教育无非是一切已学过的东西都遗忘的时候，所剩下来的东西。”

四、以数据文化为核心的独立思考精神

现今，大数据已成为公众热议的话题。涂子沛认为大数据最核心的作用是可以“预见未来”。今年以来，大数据被广泛应用于疾病控制与预防，为分析全球范围流感、新冠肺炎等疾病的传播情况，作出判断疾情的现状，提前为疾情做好防范准备提供支撑；那么，何为大数据？大数据先锋思想家涂子沛在《数文明》一书中用一个数学等式简洁、精确地表述了大数据的定义[23]，见图2。

图2 大数据的定义

图2中量数是传统意义上的数据，是人类对事物进行测量的结果，是作为“量”而存在的数据；而今天的照片、视频、音频不是源于测量而是源于对周围环境的记录，是作为一种证据、根据而存在的，称为“据数”。从而，可以认为：大数据是人们用来描述和定义信息爆炸时代产生的海量数据，数据规模庞大到令人难以想象，其一个起始计量单位是ZB（十万亿亿字节）。例如，1ZB就如同全世界海滩上的沙子数量之和。大数据迅猛发展，步入人们的日常生活，影响着我们的吃、穿、住、行、思等各个方面，促进了科学技术的发展与创新，进而形成了数据性思维方式，即：一是对全部数据进行分析，而不是随机抽样；二是并不过于追求精确性，而是重视数据的复杂性；三是更多挖掘数据的相关性，而不是因果关系。当然，这些依然离不开人的独立思考：通过对数据的分析、整理来实现建立数学模型的求解，以预测事态发生的可能性，然后制订出相应的实施计划，采取合理、准确的措施。下面以新近发生的新冠疾病传染为例，说明大数据对人的行为规范、社会责任等方面的作用。

2020年2月29日至3月7日，G某从河南省郑州市乘坐火车至达北京市，从北京市乘飞机经阿联酋阿布扎比中转，先后到意大利米兰、法国巴黎旅行，后乘飞机按原路返回。3月7日，G某乘飞机从阿布扎比到达北京后，乘坐机场大巴到北京西站，于当日下午乘坐火车返回郑州。回到郑州后，G某明知境外入郑人员需要申报健康情况并进行隔离，却故意隐瞒出入境情况，且未执行隔离规定，返程次日即到单位上班。其间，G某出现咽痛、发热等症状，仍多次乘坐公共交通工具，出入公共场所。3月11日，G某被确诊为新冠肺炎患者，与其密切接触的43人被集中隔离医学观察，其工作单位所在大厦全楼封闭7天。

从G某的行程来看，其安排没有从疫情严重的意大利直接回国，而精心选择中转阿联酋，得以顺利出入北京机场。他不仅4次乘坐人员密集的地铁，还曾两次和单位同事一起开车出去执行公务。当警方得知其出境经历后，G某先是不接电话，后是矢口否认，在全球疫情蔓延的形势下，出国旅游返回后故意隐瞒出入境情况，一直到3月10日，从意大利返回郑州3天后，社区工作人员和民警找上门，头上已发烧出汗的G某还是选择欺骗，说是自行服用药物所致。直到警方搬出大数据，G某才最终承认。

本案例表明：大数据本质上是数据的多样性和复杂性，获取信息的处理速度与获取价值的广度和深度，为有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出合情合理的推断或科学预测，甚至为采取一定的科学决策和正确行动提供有效依据与合理化建议。所以，无论G某或其父母怎样掩饰，但在大数据面前却无处遁形。出乖露丑。

大数据在全球化、信息化、市场化的今日，已成为国家竞争力的重要组成。集客观、精确、理性和逻辑（特别是数理逻辑甚或非经典数理逻辑的公众化普及）为一体的“数据文化”理念，不仅仅是秉承与挖掘中国传统优秀文化，广纳西方文明的精粹，重塑中华文化的新范式，而且也是推进国家治理体系和治理能力现代化的利器[24]。

总之，用数据说话或论证已成为人们工作、生活不可或缺的常识，大数据与指导或规范自己的工作和生活无不息息相关。最有趣的一件事是，美国一家超市依据一个女孩的购物记录，准确推断出这个女孩怀孕，并向她推销婴儿用品，而此时女孩的父母亲还不知道自己的女儿已经怀孕了。大数据所承载的信息、知识和过去就是人类生存和发展的平台与财富，这说明：大数据可以梳理过去，可以颠覆现在，可以预见未来。用涂子沛的话说，就是：“数据文化是尊重事实，强调精确、推崇理性和逻辑的文化。数据文化的匮乏，是中国之所以落后的一个重要原因；建设这种文化，中华文明的面貌将焕然一新。”[23]

五、结语

前文仅围绕《科学素质基准》中数学与逻辑基准开展阐述，以案例分析的方法为探讨策略，旨在引导公民通过自身的独立思考，尊重和深刻理解先哲们的思想与理论，强化学习的兴趣与志趣，期盼公民科学素质的普遍提升。但需要强调的是，公民科学素质的提升，依然任重道远，只有扎扎实实立足于《科学素质纲要》与《科学素质基准》，才能使公民掌握科学研究的基本方法，树立崇尚科学的思想，进而提高公民用一定科学方法、思想、精神处理实际问题和参与公共事务的能力。对此，本研究有如下建议。

（一）提倡人人阅读，建设书香社会

纵观历史，大凡有益社会的人，起码都有重读书的气息。如果我们在学校培养了学生读书的乐趣，那么学生走入社会后也会自然感受读书给自己生活所带来的人生幸福。问题是现在的成年人，要求下一代认真读书，而自身几乎与书无缘。因而，建议成年人每天读一页书或千字文，一年下来，其纸质书籍阅读量也是十分可观的，厚点一本，薄点三五本，虽然无法比拟于世界发达国家人均阅读纸质书籍量，但总是有益的。我们认为书香社会是公民科学素质提升的必由之路，公民应积极参与书香社会的建设。

（二）坚定科学信念，追求理性精神

每个人都有自由喜爱什么的权利，有追“星”的自由，这是无可厚非的。但我们一方面在狂热追歌星、影视星等的颜值，无异于“砸钱”，而另一方面又在批评“星”们国外豪华舒逸的天堂式生活。如果用理性的力量武装自己的思维方式，那么与“星”的灿烂方式就有所相悖。我们的生活需要歌声与影视娱乐，但更离不开科学家的创新成果和创造发明，是后者推动了人类社会的文明、富强与进步。同时，社会生活永远是美好的，但人的思想具有多样性和复杂性。也存在着好逸恶劳、不劳而获与唯利是图：有人期盼着天上掉下个林妹妹，有人一直做着贪婪的美梦，将最起码的“为人不下苦，难得世上财”的古训都遗忘脑后。有时我们之所以上当受骗，正是由于我们缺少理性，缺失思考问题的基本方法，缺失了科学信仰，缺失了理性质疑反思的批判性思维方式和精神。因此，我们应坚定科学信念，积极构建个人的理性精神世界，不断提高自身科学素质。