由辨析到明理 从计算到推理

邵官华 陶肖锋

【摘   要】“括号”的教学是整数四则混合运算学习的总结。教师在教学中可以呈现具有辨析性的学习材料，在不断提出问题与解决问题的过程中，引导学生概括出四则混合运算的运算顺序。再通过专项练习培养学生的运算能力，按要求编制四则混合运算的题目，培养学生的数学推理能力。

【关键词】四则混合运算;运算能力;数学推理

在本节课教学之前，学生已经有了四则混合运算的计算经验，本节课的新知是应用中括号连续改变四则混合运算的运算顺序。如何让学生通过辨析进一步明晰四则混合运算的运算顺序？如何让学生逐步发现，加上括号改变运算顺序后计算结果变化的趋势？如何应用发现的变化规律，进行基于计算的数学推理？带着这些问题，笔者进行了教学实践。

一、在辨析明理中培养概括能力

教师可以创设问题情境，先引导学生在辨析的过程中回忆四则混合运算的运算顺序，之后在纠错的过程中通过添加括号，进一步理解运算顺序，自主概括四则混合运算的运算顺序。

（一）在辨析中明晰四则运算的结果变化

基于数量关系的应用问题，《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求不超过两步计算，而要用到中括号，至少要有三步計算。因此教材中带中括号的四则混合运算采用纯数学的算式。如何引导学生发现括号的作用与必要性呢？笔者对教材第9页上的例4进行了改编，创设辨析情境引导学生逐步体会。

教师出示三道计算题（如图1），请学生观察这三道题有什么相同的地方。学生发现这三道题的算式相同，说明其中至少有两个结果是错的。教师顺势追问：你能够不计算最终结果，马上判断哪一题一定是错的吗？学生通过观察认为第（3）题是错的，因为40×2=80，80加上一个数（大于0的数）一定大于30。教师进一步追问这一题该怎么计算。学生依据经验回答先算除法，再算乘法，最后算加法。按这样的运算顺序计算结果后判断第（1）题是正确的。

（二）在尝试中发现括号的含义与用法

在辨析环节，学生已经初步感受到整数四则运算中乘法、除法与加法计算结果的大小变化规律。依据这一经验，教师指出，只要让余下的两题分别改变运算顺序，就可以使计算结果变正确，并请学生依据这样的要求尝试完成。

对于第（2）题，学生有两种尝试方法。第一种是9600÷（120+40）×2，第二种是9600÷（120+40×2），学生认为这样做能使除数变大，结果就可以变小。教师同时展示学生的计算过程，发现第一种尝试是正确的。

根据第（2）题的经验，学生又有了两种添加括号的情况。第一种是9600÷（（120+40）×2），第二种是9600÷[（120+40）×2]。不可否认，在新知学习之前，班级中有一部分学生会提前进行学习，这里第二种填法的学生就应该属于此类，而第一种填法的学生则是利用了原有的认知经验。教师展示了三位学生的递等式计算过程。

教师请学生说一说以上三个算式的相同点与不同点。学生指出运算顺序都相同，运算结果都一样。但生1的作品中有两个小括号，生2与生3的作品中小括号外面又多了一种括号。教师请生2、生3说说“小括号外面的括号”的名称、书写、作用等，再请其他学生在作业本上用这种方法重新书写算式。接着，教师请学生观察生2与生3作品中的下画线部分，比较哪一种书写方式更合理，并说说理由。学生通过讨论交流，发现生3作品中用中括号更加合理，否则就会与上一步的小括号相混淆。最后，教师请学生按照生3的方法进行纠正。

与教材编排相比，以上教学过程中学生把运算过程当成了问题解决的过程，在不断发现和提出问题、分析和解决问题的过程中，有层次地探究括号的作用。

（三）在比较中归纳四则运算的运算顺序

这一节课是小学阶段四则混合运算的运算顺序的总结课。在经历以上学习过程之后，教师呈现三类不同的四则混合运算的情况——没有括号的、只有小括号的和含有中括号的。请学生进一步观察，归纳总结出四则混合运算的运算顺序。

生：没有小括号的，先算乘除法，后算加减法。

生：有小括号的要先算小括号里的。

生：有中括号和小括号的，要先算小括号里的。

教师可以把学生的回答用图示的形式进行综合（如图2），请学生依据图示重新梳理。

教师在带中括号的题目前面添上“30÷”，最后的结果改为“1”，即“30÷9600÷[（120+40）×2]=1”。依据之前的计算结果，需要在中括号外面再添一种新的括号。个别学生说可以用“大括号”，教师不做解释，而是让学生看教材第9页的“你知道吗”，了解各种括号的由来，并在上面的题目中添上大括号说一说新的运算顺序。

二、用多种形式提升运算能力

运算能力的培养需要有一定题量的训练，同时也需要有思维形式的变化。有前期的四则混合运算作为基础，练习中要关注计算习惯的养成和逻辑思维能力的培养。

（一）巩固练习，培养检查习惯

总结了四则混合运算的运算顺序之后，教师请学生进行相应的练习：（1）40+60÷5×4;（2）36-36÷18+18;（3）251-123-（154-31）。在运算时，要求做到“先看符号定顺序，要算的步骤下面加下画线，一步一回头”。

这三道题分别由教材练习三第1题中的其中三道题目改编而来。学生在做题时可能会出现这样的错误：第（1）题——（40+60）÷（5×4），第（2）题——（36-36）÷18+18或（36-36）÷（18+18），第（3）题——251-[123-（154-31）]。虽然这三题中没有出现中括号，但通过第（3）题的错例辨析，学生可以更深刻地体会到中括号的用法。

总之，精心设计容易受到数据干扰的四则混合运算题目，可以更好地培养学生规范的四则混合运算的计算思路。

（二）专项练习，巩固运算顺序

在解决复合应用问题时，从已知信息出发，通过不断地解决问题求出最后的结果，这种方法叫作综合法。教材练习三第2题（如图3，序号为后期列综合算式时标上的），就是在计算中采用“综合法”形成的思路图。

教师可将教材中的要求做适当改变，要求学生观察思路图，标出运算的顺序，然后列出综合算式，进行递等式计算。

四则混合运算作为一种程序性知识，学生应该在练习的过程中规范运算流程。当然，这种习惯并不是一蹴而就的，需要在前期学习中逐步形成，在后期学习中加以巩固。

三、在计算练习中培养推理能力

在例题教学中，运用四则运算结果的大小变化规律可以对错误的结果进行判断。教师可以设计运算推理题，让学生按要求改变四则混合运算的运算顺序，使结果尽量大或尽量小或等于规定的值。

（一）添括号，使运算结果尽可能大或小

对于这样的练习，学生在平时的计算中已经积累了一定的经验，用这种策略可以增强计算的趣味性。如这样一题：在下面的算式中添上括号，使计算的结果尽可能大或尽可能小：6000÷75-60+10。此题是依据教材练习三第3题右边的一组题改编而来的。改编后由两种运算增加到三种运算，使得变化更加丰富。学生独立完成后教师组织反馈，要求学生说出解题的思路。

生1：填的是结果尽可能大的情况，我是这样想的。6000这个数很大，如果让除数最小，这个结果就大了。所以先算“60+10”，再从75里面减去，结果就只有5了。我的算式是6000÷[75-（60+10）]，最后的结果是1200。

师：有没有可能比他说的结果还要大？

生2：我认为不会有了，因为这个结果是四位数。我列的算式是6000÷（75-60）+10，结果是410，只有三位数。

改编，让题目更开放，也增加了练习量，增强了解决问题过程中各种运算的综合应用。

（二）添加括号，使算式的结果相等

在四则混合运算中会有这样的情况：添上括号后改变了原来的运算顺序，但结果还是相等。教师要改变学生可能形成的思维定式，即运算顺序变了结果一定会发生变化。此题由教材练习三第3题左边的一组习题改编而成：在下面算式中的合适位置添上括号，使不同的算式结果相等：72-4×6÷3。

学生独立尝试后反馈。交流得到如下两组相等的算式。

（1）72-4×6÷3=72-4×（6÷3）;

（2）（72-4）×6÷3=（72-4）×（6÷3）。

教师请学生观察上面两组结果相等的算式，说一说有什么共同的地方。学生发现，对于先乘后除的乘除混合运算，也可以先算除法。依据猜想，教师让学生再找一找这样的例子，举例后交流，也可以进一步用画图说明（如图4），分别解释“4×6÷3”和“4×（6÷3）”的运算过程。

（三）添加符号，使等号两边相等

教材练习三第12页有一道思考题，等号左边的结构相同（都是“3○3○3○3”），等号右边有1，2，3，7，8，9六个结果。经过尝试发现，等号右边的结果可以是“0～10”中的任意一个数。因此，可对此题进行改编，增加结果是0，4，5，6和10的算式，以增强题组的完整性。

先請学生观察结构，说一说各个算式的相同点与不同点，然后四人小组分工完成，交流反馈，汇总各题不同的填法。最后请学生依据结果提出新问题，如“结果还可能会有哪一些？最大是多少？”

从本节课的教学过程可以看出，从例题到练习题的设计，均对教材中的内容进行了适当的改编，增强了运算过程中的问题意识，让运算顺序的改变、结果大小的判断等成为培养学生数学推理能力的学习材料。

（浙江省杭州市萧山区欢潭小学   311253）