设计教学环节，保证课堂质量

沈小琴

[摘  要] 当代教学理论普遍强调学习中学生的主体地位和自主性，要求从认知结构生成的角度展开教学，这对教师的教学能力提出了更高的新要求. 为了保证课堂教学的质与量，教师需要提前设计合理的课堂教学环节.“直线的倾斜角和斜率”是学习解析几何知识模块的起点，是高中数学体系中代数和几何的转折点，也是初中几何知识向高中几何知识的过渡点. 文章中笔者将以此部分知识的教学为例分享自己的教学设计经验.

[关键词] 直线的倾斜角和斜率;教学环节设计;问题情境教学法;坐标法

教学内容和目标分析

1. 基本教学内容

（1）正确理解直线的倾斜角及斜率的基本概念、性质和对应关系.

（2）掌握计算直线斜率的基本方法和对应公式.

（3）能灵活应用相关概念和公式转化来解决问题.

2. 教学目标分类

（1）学生掌握上述基本教学内容，正确理解对应知识，具备相关技能.

（2）通过揭示倾斜角和斜率之间的联系，提高学生观察比较、归纳抽象的能力，逐步培养学生数形结合的思维能力;同时通过介绍斜率的计算方法，引入坐标法.

（3）课堂以自主探究与合作交流相结合的方式展开，突出学生在学习中主体作用的同时，充分发挥教师指路人和推进者的把控作用，让学生切身体会解析几何的迷人精妙，从而深化对数学科学的理解，并自发产生探索数学世界的兴趣.

3. 知识结构中的位置及作用分析

学生从本节内容开始正式进入解析几何知识的学习. 直线是构成许多几何图形的基本模型，且性质明确简单、易于理解，是解析几何学习的良好切入点，而直线的倾斜角和斜率是描述直线性质的基本量，厘清两者的概念是研究直线的第一步.

本节内容是高中数学体系中的一个转折点. 学生经过了一年的代数学习，已经建立了基本的函数意识，形成了一定的函数思维并具备了一定的函数分析能力，为了进一步完善学生的数学知识结构，高中数学体系在此基础上包含了解析几何的知识.

本节的知识还能帮助学生完成几何观的过渡. 初中阶段学生对于几何的认识是感性的、较为浅显的，停留于某几类典型几何图形的简单性质;而高中阶段对于几何的描述偏向理性，以较为精确的数量关系描述更加一般的几何图形性质. 直线的倾斜角是一个直观的几何概念，能够帮助学生更好地理解直线垂直、平行等较为熟悉的概念，同时为引入斜率起到了过渡作用，是联结初高中几何知识的纽带;直线斜率是描述直线性质的核心概念，能集中体现解析几何中数形结合的重要思想，是解析几何的入门和基础性概念.

综上，“直线的倾斜角和斜率”是学习解析几何知识模块的起点，是高中数学体系中代数和几何的转折点，也是初中几何知识向高中几何知识的过渡点.

本节知识的教学重点在于倾斜角和斜率的概念以及斜率的几种计算方法，而难点在于倾斜角与斜率的对应关系和斜率计算公式的推导.

课堂教学过程设计

课堂将以问题为线索启发引导学生探究概念方法，综合采用情境引导、合作探究等教学方式帮助学生完成主体认知结构的生成，给学生主观能动性的发挥留下足够的空间.

1. 设计问题情境，活跃学生思维

课堂开始之前笔者在黑板上画出了若干倾斜度不同的模拟滑雪斜坡，并给学生播放了滑雪的视频，在学生看完视频之后，笔者提出了问题：“在刚刚的视频中细心的同学一定注意到了，滑雪赛道（指向黑板上的模拟赛道图）是有不同倾斜程度的，请同学们思考：生活中我们可以根据什么来判断某一斜坡的倾斜程度呢？如果是在平面直角坐标系中呢？”

情境设计意图：以常见的体育赛事作为问题引入情境，迅速活跃了课堂气氛并有利于帮助学生打开思路，同时帮助学生找到思考问题的着力点，平缓了问题难度.

2. 自主学习概念，合作探究问题

教学最应该关心的是学生在学习过程中的参与度，因此为了让学生充分发挥自主性，在创设了问题情境后，笔者让学生先自行阅读学习书本上的相关概念并思考回答以下问题.

问题1：生活中我们常用坡度来描述某一斜面的倾斜程度.例如，我们可以用最高点的高度与起点和终点间水平距离的比值来表示坡度，测试并思考坡度与斜面的哪些量有关？能给出一个具体的例子说明你的结论吗？

问题2：继问题1，以斜坡的顶点为坐标原点、以斜面的底为横轴建立平面直角坐标系，则斜面可以看作是一条直线，将该直线绕着坐标原点旋转的过程中，它和坐标轴的相对位置有几种情况？上一问中刻画坡度的量与坐标系中哪个量存在对应关系？对应关系是什么？

问题3：直线的倾斜角和斜率的概念是什么？结合上述两问思考它们二者有何联系？倾斜角以及斜率有取值范围的限制吗？任意一条直线l都有倾斜角和斜率吗？

问题4：如果已知平面直角坐标系上两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）确定了一条直线l，则它的斜率是否存在？计算斜率的公式是什么？

问题5：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面上任意两点，则由这两点确定的直线是否一定存在斜率？

在学生经过一段时间的自主学习和思考后，笔者组织学生分组进行合作探究，让不同学生的思维在激烈碰撞中互相补充和修正，充分释放学生自身思维的能量，在此过程中笔者巡视于教室，若有学生提出疑问则进行适当的点拨.

3. 展示新颖思路，疑难重点详解

经过上面两个课堂环节，学生已经对“直线的倾斜角和斜率”有了较为全面的把握，而部分学生在一些疑难点处难免会存在认知不清的问题，这时笔者将对这些疑难点和教学重点进行进一步的详细讲解，以帮助学生形成清晰而牢固的认知.

探究问题1：倾斜角的数学定义和取值范围.

如图1所示，教师先利用多媒体工具动态展示倾斜角的四种可能情况，再让学生思考片刻后对上一环节中探究的问题2、问题3的结果进行展示交流，最后再由教师对学生的答案进行汇总和补充，并给出准确的概念. 

问题设计目的：教师先利用几何画板等多媒体工具直观生动地展示了直线倾斜角的典型情形，帮助学生对自己的结论进一步地修正和补充，再让学生通过展示答案进一步加深对概念的认知与思考.

探究问题2：直线斜率的定义和存在条件.

笔者通过类比的方式帮助学生理解直线斜率的概念和定义，先给出如图2所示的生活中的斜坡案例.

承接上一探究问题，笔者先将斜坡的坡度角与直线的倾斜角对应起来，再通过坡度===，将坡度和坡度角的正切值对应起来，再通过类比斜率和坡度含义的相似性，帮助学生通过自己的思考得出公式k=tanαα≠. 

接下来笔者继续引导学生探究斜率的存在条件和变化情况.

笔者提出了两个问题：（1）当直线垂直于横轴时，直线的倾斜角是否存在？直线的斜率是否存在？（2）当直线的倾斜角从0变化到不包含以及从变化到π时，直线的斜率是否存在一定的单调性？

通过这两个问题，笔者引导学生将注意力聚焦在倾斜角与斜率的对应关系上，帮助学生进一步补充和修正关于斜率定义和存在条件的认知.

探究问题3：坐标法计算直线斜率.

针对这一个知识点，笔者提出了问题：如图3所示，在已知某一直线上两点的坐标而不能直接求得直线倾斜角的情况下，如何求得直线的斜率呢？

笔者引导学生通过相似三角形的知识将倾斜角的正弦值与联系起来，还有一些学生想到利用平行线的性质转化问题. 

4. 课堂即时练习，及时巩固总结

在课堂的收尾阶段，笔者倾向于針对课堂教学内容让学生进行即时练习，以在最佳时间总结和巩固知识.

课堂练习1：下列说法中正确的是（  ）

A. k存在，则倾斜角必定存在

B. 对于每一条直线l，倾斜角存在且唯一

C. 若倾斜角为α，则可知k=tanα

课堂练习2：已知A（-3，2），B（4，1），C（0，-2），D（-3，7），试求出这四点能够确定的所有直线的斜率.