关于圆锥曲线离心率求解方法的总结

邓丽

[摘  要] 圆锥曲线是高中数学解析几何知识模块中的重要一环，离心率是圆锥曲线中的一个重要概念，是对圆锥曲线形状特征的一个重要的量化描述，然而圆锥曲线概念较为抽象复杂，学生在求解圆锥曲线的离心率或者应用离心率解决问题时往往不知道该采用哪些方法. 文章总结了基本定义求解法、几何关系分析法、参数消元方程法和不等式约束法这四种常用的解题方法，并附上了对应的教学例题和方法分析.

[关键词] 圆锥曲线;双曲线;双曲线性质;离心率基本定义;几何关系分析

圆锥曲线是高中数学解析几何知识模块中的重要一环，学习相关概念和思想方法对于提升学生计算能力、分析能力、问题转化能力等数学综合能力有着重要的作用，离心率是圆锥曲线中的一个重要概念，是对圆锥曲线形状特征的一个重要的量化描述. 由于离心率的概念距离生活较远，因此它对于学生来说比较陌生，再加上圆锥曲线中概念繁多且联系性强，解题手段灵活，学生在求解圆锥曲线的离心率或者应用离心率解决问题时往往不知道该采用哪些方法，笔者在此总结了四种常见的双曲线离心率求解方法并附以对应例题以供同行们教学参考.

几何关系分析法

圆锥曲线是代数与几何的结合产物，研究圆锥曲线少不了利用它的几何性质，这一点对于求取双曲线的离心率也成立.

例2：假设现有一四边形以双曲线C的两个焦点以及虚轴的两个端点为顶点，已知该四边形有一个大小为60°的内角，试根据上述条件求出双曲线C的离心率.

分析：本题给出的是一个隐含了数量关系的几何条件，我们需要先分析几何条件并挖掘转化出数量关系. 要解决这道例题，我们首先需要明白这个和双曲线相关的四边形是什么样的，根据双曲线焦点和虚轴端点关于原点分布的对称性，我们可以知道该四边形是菱形，又根据该四边形有一个60°的内角可知其图像大概如图1所示.

参数消元方程法

在很多问题中我们不能直接得到参数a，c之间的比例关系，而是需要利用双曲线各参数的数量关系，通过借助方程间接得到关于a，c的方程（往往该方程的形式是二次的），最后经过转化就可以得到关于离心率的方程. 利用参数消元方程法求解双曲线离心率的第一步也是关键一步就是构造方程，解方程时需要留心离心率的定义形式和取值范围，适当地选取方法和进行取舍.

例3：已知点F是某双曲线的焦点之一，点B是其虚轴的端点之一，直线FB与一条渐近线成90°，根据这些信息试求该双曲线离心率的值.

分析：本题给出的几何条件较为抽象，我们需要能够据此转化挖掘出关于双曲线参数的方程.不难想到我们可以利用垂直直線的斜率之积为-1的性质来转化条件.

解答：若该双曲线的两个焦点落在横轴上，则可设其标准方程为-=1（a>0，b>0）. 焦点F的坐标为（-c，0），虚轴端点B的坐标为（0，b），易得直线FB的斜率为，可能与之垂直的渐近线的斜率为-，因此可得-=-1，即b2=ac. 根据双曲线的性质c2-a2=b2，可将式子进一步转化为c2-ac-a2=0，等式两边同时除以a2，即可得e2-e-1=0，可解得e=.  又该圆锥曲线是双曲线，则e>1，所以取e=.

方法分析：根据题目条件建立关于双曲线参数的方程，一般来说以二次齐次式为佳，因为最终的离心率是与a，c相关的，对于b2，我们可以利用关系式b2=c2-a2进行转化，最终将关于a，c的二次齐次式转化为关于离心率e的一元二次方程.

求解方法及注意点总结

其实不论具体求解离心率的方法如何，围绕离心率的基本定义式e=，归根结底就是希望求解出a，c之间的比例关系，有三种基本的思路可供参考：其一，求出具体的a，c，接着直接采用相除的方法获得答案;其二，用中间参数表示a，c，再通过比值法消去中间参数求解离心率，具体可以参考方法一中的例题;其三，将比值式或作为一个整体进行求值，很多时候我们不能直接求得或者用中间参数表示a，c，这个时候我们就可以思考直接去求a，c之间的比例关系，例如参数消元方程法运用的就是这样一个整体求值的思想.

离心率是描述圆锥曲线形状特征的量，由于圆锥曲线在定义时就具有一些性质，因此我们在求解离心率的时候就要利用这些性质或者多注意特定性质带来的限制. 从双曲线的角度来说，我们需要多利用其参数之间的数量关系a2+b2=c2转化条件或者化简算式，几何关系分析法和参数消元方程法的例题就能很好地说明这点，同时我们也要注意到双曲线的离心率大于1这一性质，这能够帮助我们进行答案的取舍和范围的约束，比如在参数消元方程法的例题中我们就舍去了小于1的根.

教师在进行圆锥曲线离心率求解问题教学的时候，也需要注意充分发挥学生的主观能动性. 教学时，教师可以先给出具体类型的例题，再引导学生自主归纳和探寻方法，同时鼓励其发散思维，类比学习，比如完成双曲线离心率的求法的教学后，教师可以引导学生类比思考椭圆的离心率求法.