均值不等式在证明不等式中的运用

戴鑫

摘 要：均值不等式作为高中数学中最重要的不等式之一，在高考试题、全国高中生数学联赛和高校自主招生试题中随处可见。本文从高考试题出发，通过研究和尝试逐步将题目难度提升到全国高中生数学联赛和高校自主招生的难度，在研究过程中探索均值不等式在解决不等式证明题时的使用技巧和方法，达到帮助学生更好的理解和应用均值不等式这一有力工具的目的。

关键词：均值不等式 不等式证明

三、均值不等式在竞赛和自主招生中的应用

在解决竞赛和自主招生题目时，发现仅仅靠运用结论，配凑系数的高考思路基本无法解决竞赛和自主招生的题目，而且竞赛和自主招生题目灵活多变，是否是直接运用均值不等式还需要去判断，所以激发我们思考是否有更重要的线索去解决此类问题。经过研究和总结我发现，运用均值不等式去证明不等式时，非常关键的线索是关注取等条件，在放缩的过程中时刻保证取等条件不变，并且放缩的方向又是题目所需的方向即可。下面举例说明。

点评：本题首先猜测所证不等式的取等条件，故考虑使用均值不等式证明求证不等式，要求在证明地放缩过程中不改变取等条件。运用平方平均值大于或等于算数平均值，再运用调和平均值小于或等于算数平均值，两次运用均值不等式放缩都没有改变最初的取等条件，根据这个放缩原则很快就可以证明原不等式成立。

点评：本题首先猜测取等条件，但本题分母次数较高，由例题2的经验将分式的分子次数变高比较容易证明，故考虑“1”的代换将分子次数变高，但添项部分为了抵消分母不能选用常数项。

以上是运用均值不等式证明带有等号的不等式，如果题目中求证不等式没有等号就不那么方便考虑取等条件了。

点评：本题是一个非常经典的结论，它还反映了数列的单调性，还可以推出该数列的极限。但是放入不等式的证明中却发现不容易猜测取等条件，那么我们考虑某个元素不和其他元素相等即可证得纯大于或小于，所以将某个元素选为1，再运用n+1元均值不等式即可证得结论。

结语

所有的不等式在不等式的證明中都会起到放缩的作用，由于均值不等式的重要地位自然在证明不等式的时候要经常考虑它的运用。经过研究我发现高考试题的例1仅仅是从形式上解决了不等式的证明问题，而在解决竞赛和自主招生题目时发现的“关注取等条件”的规律才是解决问题的真正突破口！故当解题人尝试运用均值不等式去证明某个不等关系时，请时刻关注取等条件，并且步步保证放缩方向一致即可。

最后，希望我的一点点个人的经验总结会对广大学生不等式的学习和理解有所帮助。祝各位学生学有所成！

参考文献

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5不等式选讲人民教育出版社2017

[2]何易阳自主招生数学解证宝典哈尔滨工业大学出版社2015