W-空间上6个映射的公共不动点

高 姗

(太原工业学院理学系，山西太原 030008)

著名的Banach收缩原理[1]已经被广泛地推广和应用[2-8]。在W-空间上，通过引入两类3元实函数类,讨论了具有交换点的，满足隐式积分型收缩条件的2个和4个映射公共不动点的存在性和唯一性问题问题，t同时给出了3个映射和1个映射的公共不动点的存在性和唯一性定理[1-2]。通过引进一种6元实函数类,在W－空间上讨论具有交换点的反交换性质且满足积分型收缩条件的6个映射的唯一公共不动点存在问题。

1 准备知识

定义1设X是非空集合，如果一个映射d：X×X→R+满足d(x,y)=0 ⇔x=y，则称(X,d)为W-空间[9]。

定义2设f和g是W-空间(X,d)的两个自映射。称f和g是反交换的，如果x∈X，fgx=gfx，则fx=gx[10]。

定义3称x∈X是W-空间(X,d)的两个自映射f和g的交换点是指称f和g满足fgx=gfx[10]。

定义4Φ={φ|φ：R+→R+是满足在的任何紧子集上可积的，可求和的且对任何

定义5γ∈Γ 当且仅当(R+)7→R+，满足对任何a>0,b>0，由a≤γ(b,b),0,0,a,a,a推出a

2 主要结果

定理1设(X,d)是W-空间，f1,f2,g1,g2,h1,h2：X→X是6个映射，(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)是具有交换点的反交换映射。如果对于任何x,y,z∈X，且满足当d(f1x,g1y)>0，d(g2y,h2z)>0，d(h1z,f1z)>0时，

其中φ∈Φ，γ,γ′,γ″∈Γ，则f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不动点。

证明设u,v,w是(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)的交换点，即

则有

则由(1) ：

则由γ的定义可知：

同理由(2),(3)可知：

则由(5),(6)可知

则(4)与(7)相矛盾,则d(f1u,g1v)>0，d(g2v,h2w)>0，d(h1w,f1u)>0里面必有一个不成立。

不妨假设d(f1u,g1v)>0不成立，即f1u=g1v，d(g2v,h2w)>0，d(h1w,f1u)>0，则(5)，(6)成立。即(7)成立，从而

则

以下证明f1u是f1的不动点，否则有d(f1f1u,f1u)=d(f1f1u,g1v)>0,

则由(1)，

从而f1u是f1的不动点。

又由f1f1u=f2f2u=f1f2u=f2f1u，可知f1u是f1,f2的公共不动点。同理，g1v是g1,g2的公共不动点,h1w是h1,h2的公共不动点。从而f1u是f1,f2,g1,g2,h1,h2的公共不动点。

若a,a′是f1,f2,g1,g2,h1,h2的两个公共不动点，对于(1) (2)，令x=a,y=a′,z=a,

从而f1u是f1,f2,g1,g2,h1,h2的唯一公共不动点。

3 应用

根据定理1可知如下结果。

定理2设(X,d)是W-空间，f1,f2,g1,g2,1,h2：hX→X是6个映射，(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)是具有交换点的反交换映射。如果对于任何x,y,z∈X，且满足当d(f1x,g1y)>0，d(g2y,h2z)>0，d(h1z,f1z)>0时，

其中φ∈Φ，a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7<1，b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7<1，c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7<1。则f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不动点。

证明定义γ∈Γ：

当a>0,b>0，且a≤γ(b,b,0,0,a,a,a)时，a≤a1b+a2b+a5a+a6a+a7a，则有从而γ∈Γ。

同理γ′∈Γ,γ″∈Γ。由定理1，f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不动点。