数学问题解答

2020年5月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2541设正实数a,b,c满足a2+b2+c2+abc≤4,x,y,z为任意实数，求证：

ayz+bzx+cxy≤x2+y2+z2．

(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 712000)

证明构造二次函数

f(x)=(x2+y2+z2)-(ayz+bzx+cxy)

=x2-(bz+cy)x+(y2+z2-ayz),x∈R.

因为二次函数f(x)的图像开口向上，要证明f(x)≥0恒成立，只要证明其判别式的值非正就行了．事实上

Δx=(bz+cy)2-4(y2+z2-ayz)

=(b2z2+c2y2+2bcyz)-4(y2+z2-ayz)

=-[(4-c2)y2-2(2a+bc)z·y+(4-b2)z2]．

由题设条件知4-c2>0,

构造二次函数

g(y)=(4-c2)y2-2(2a+bc)z·y+(4-b2)z2,y∈R．

只要证明g(y)≥0,也就是只要证明其判别式的值非正就行了．事实上

Δy=4(2a+bc)2z2-4(4-c2)(4-b2)z2

=4(4a2+4abc+b2c2)z2-4(16-4b2-4c2+b2c2)z2

=16z2(a2+b2+c2+abc-4)≤0．

综合以上，便知所证不等式成立．

(北京市朝阳区教育研究中心 蒋晓东 100028；北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校 郭文征 100121)

证明如图，延长CB到E，使BE=BA，

则△BEA为等腰三角形，∠BEA=∠BAE．

因为∠ABC为△BEA的外角，

所以∠ABC=∠BEA+∠BAE=2∠BEA．

因为∠ABC=2∠ACB，

所以∠BEA=∠ACB．

即∠ACE=∠AEC，△ACE为等腰三角形．

所以AE=AC．

所以△BAE∽△ACE．

①

因为∠ABD1=∠CBD2，即BD1、BD2为△ABC的内等角线，由三角形内等角线性质定理，得

②

由①和②得

当且仅当∠ABC的内等角线BD1与BD2合并为∠ABC的平分线时，不等式中的等号成立．

2543在△ABC中，sinA=cosB=cotC，求C的值．

(浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗 314300；北京航空航天大学图书馆 宋庆 100191)

sinA=cosB=cotC=0，不合题意；

即2sinB=1-2sin2B，

(河南辉县一中 贺基军 453600)

解设自然数n的十位数字为a(1≤a≤9)，

个位数字为b(0≤b≤9)，从而得n=10a+b，

=(10a+b)-10a=b．

于是，[lg2n]=[n·lg2]=[0.301·(10a+b)]

=[3a+0.01a+0.301b]

=3a+[0.01a+0.301b]

=3a+[t]，

①

在上式中，t=0.01a+0.301b．

由1≤a≤9知，0.01≤0.01a≤0.09，

进而考虑0.301b及t的取值范围：

(ⅰ)当0≤b≤3时，0≤0.301b≤0.903，

从而得0.01≤t≤0.09 + 0.903，

即0.01≤t≤0.993；

(ⅱ)当4≤b≤6时，1.204≤0.301b≤1.806，

从而得0.01+1.204≤t≤0.09+1.806，

即1.214≤t≤1.896；

(ⅲ)当7≤b≤9时，2.107≤0.301b≤2.709，

从而得0.01+2.107≤t≤0.09+2.709，

即2.117≤t≤2.799．

综合上述讨论，对a的任何可能取值

②

另一方面，由m=b得

③

④

比较②与④可知，对b的任何可能取值

⑤

根据① ③ ⑤得

=3a-4b，

因此n= 10，或n= 53，或n= 96．

图1

2545如图1，△ABC中，E是BC边的中点，D是线段BE上一点(端点除外)，设I1，I2分别为△ABD，△ACD的内心，则 ∠I1EI2=90°的充要条件是AB=AC．

(湖北省公安县第一中学 杨先义 434300)

图2

证明如图2，过I1,I2分别作BC的垂线，垂足为M,N．

由内切圆的性质有

EN=EC-CN

因为I1D⊥I2D，

所以 tan∠I1DM·tan∠I2DN=1，

所以 ∠I1EI2=90°

⟺tan∠I1EM·tan∠I2EN=1

⟺MD·ND=ME·EN

⟺MD(DE+EN)=(MD+DE)EN

⟺MD=EN

⟺AB=AC．

2020年6月号问题

(来稿请注明出处——编者)

(北京粉笔未来科技有限公司 郑小彬)

(山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)

2548已知m>1,求证:存在相异正数a,b,使am-alna=bm-blnb=1,且a+b>2．

(四川省成都华西中学 张云华 610051)

图1

2549如图1：△ABC中的边AC与BC不等，其内切圆I与△ABC的边BC、CA、AB切于点D、E、F,边AB的中点为M,直线DE与△ABC的外接圆O交于点H、G,证明：H、F、M、G四点共圆．

(安徽省旌德中学 赵忠华 242600)

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)