合情推理思想视域下的概率论教学研究

李荣玲

（滇西科技师范学院数理学院 云南·临沧 677099）

0 引言

“概率论”是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象的统计规律的一门数学课程，它通过认识、描述、分析各种随机现象及对事件发生可能性的刻画，帮助人们做出合理的推断和预测，再通过检验、修改和完善所作的猜想，推广到更一般结论。学好概率论，对于提升大学生数学素养，提升发现问题、分析问题、解决问题能力具有重要而深远的意义。然而，笔者在概率论教学实践中发现，常规的教学方式存在概念繁多易混淆，定理抽象不易懂，公式交叉不易记等诸多不足，导致学生提不出问题、也分析不了问题，更解决不了问题。凡此种种，对于我们培养“高素质研究型创新人才”极为不利。基于此，不断改进概率论课程的教学方式，全面提升大学生数学素养，提升数学思维能力，进而提高“概率论”教学质量成为亟待解决的现实课题。

1 合情推理思想一般概述

合情推理一词来源于美籍匈牙利数学教育家George Polya所著的《数学与猜想》，George Polya指出“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想发现的。只要数学的学习过程反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置”。[1]目前关于合情推理的界定有多种，但在学界被广泛认同的有两种，一种是狭义的合情推理；另一种是更广泛的合情推理。[2]合情推理用于探索思路，发现结论，学生利用合情推理发现问题和提出问题，是创新的基础。因此，合情推理思想是人们在原有的认知结构基础上，在一系列非智力因素的作用下，通过观察、试验、联想、猜测、直觉、归纳和类比等，开启非完全演绎的思维大门，顺利地借助旧知识、旧经验做出关于客体的合乎情理的推断和猜测的数学观念及思维形式。合情推理思想是数学发现的一种重要思想，是数学的基本思维方式之一，有时又称为似真推理思想。

2 合情推理思想视域下的概率论教学策略

数学每一个领域的学习都需要猜想，“概率论”由于其独特学科特点，教学过程需要合情推理方法，如果大学生学习其他数学学科提升的演绎推理能力可以影响学生的运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和严谨的治学态度，通过概率论课程学习提升的合情推理意识可以影响学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力、求异精神和冒险精神。[3]下面结合笔者多年的教学经验，谈谈合情推理思想视域下的概率论教学几点策略。

2.1 运用合情推理思想内化概率论基础知识

概率论知识结构是由局部到整体，由简单到复杂，环环相扣，层层递进的。学生只有完善的基础知识做铺垫，才能为后续的学习做好准备。没有计数相关工具，研究第一章随机事件及其概率不现实，而第一章研究的是随机试验的局部，第二章研究的是随机试验的整体，没有对随机试验的局部的研究不可能走到第二章，没有一维随机变量及其分布，接受多维随机变量及其分布就是天方夜谭。学习时如果不重视知识形成的原始思维过程，就无法形成稳定的数学认知结构。因此，教师在教学过程中要充分利用合情推理思想引导学生提出问题，内化概率论基础知识。例如在概率的公理化定义的学习中引入了公理后，教师如果能趁热打铁，接着引导学生提出猜想：最大事件的概率对应概率最大值1，最小事件的概率值是否对应概率最小值0呢？回答是肯定的，这就是概率的性质1：不可能事件的概率为零，即。证明（构造思想）

2.2 利用类比推理强化对概率论概念、定理、公式本质属性的认知

类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它所在另一个属性也相同或相似的一种推理。它是从特殊到特殊的推理。[4]世界上的事物没有两样完全相同，也没有两样完全不同。桑代克说过“共同要素是产生类比的客观因素”。概念、定理、公式是概率论知识体系的基础，是概率论基础知识的核心，是合情推理能力的根基之一，在概率论概念教学中，如果一个新概念和大学生原有的认知结构中的旧概念有某种关联，教师可以运用类比的思维方法将概念横向联系、纵向拓展、小题大做让学生充分感受合情推理；在概率论定理和公式教学中，教师不宜直接给出定理或公式的现成内容，而是应尽量启发大学生，让他们通过观察、类比、分析等步骤，探索规律，建立猜想，发现命题或公式。例如，随机事件的独立性是这样界定的：对任意的两个事件，若）成立，则称事件是相互独立的，简称与独立。即相互独立。

2.3 合理利用归纳完善概率论知识结构

归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理，它的思维过程是从特殊到一般。[5]在概率论学习过程中，很多学生觉得概念繁多易混淆，定理抽象不易懂，公式交叉不易记，合理利用归纳推理，考查某研究对象的局部，推断和预测出一般结论，可以让学生更好地理解与认同概率论知识，不断完善概率论知识结构。

再如，若把棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理的条件随机变量序列，…同服从两点分布去掉，提出猜想：设随机变量序列，…相互独立同分布，若就是列维—林德伯格中心极限定理。再把列维—林德伯格中心极限定理中随机变量序列，…同分布去掉，建立猜想，预测出一般结论，这就是李雅普诺夫中心极限定理。通过这些知识学习，学生经历观察、猜想、推理、归纳，分析等思维过程，提升大学生合情推理能力的同时，不断完善学生概率论知识结构。

3 结语

充分利用合情推理思想开展概率论课程教学时，可使学生更加系统把握课程基础知识，更加准确深入理解知识“哪里来”“怎么办”“为什么”“是什么会引起什么”以及“不是什么会是什么”等问题，进一步推动学生合情推理能力的发展。应该指出，充分利用合情推理思想开展概率论课程教学，除了面向全体学生，还要注意因材施教，使每一个学生都能体会到概率论课程的基础性和合情推理对于专业发展的重要性，从而使提升合情推理能力成为学生的自觉需求。全面提高“概率论”教学质量的同时，整体提升大学生数学思维能力。