明确方向 分步求解

洪汪宝

(安徽省安庆市第一中学 246004)

题目在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为____.

本题是2018年高考数学江苏卷填空题第13题，题干条件简洁，题意清楚，目标明确，主要考查解三角形，将解三角形与不等式巧妙地结合起来，考查学生分析问题和解决问题的能力，对学生的综合能力要求较高.因为条件中已知三角形的一个内角大小及其内角平分线长，三角形并不能唯一确定，所以等量关系中蕴藏不等关系.对于这样的解三角形问题，通常有两个方向，一是将边转化为角的三角函数；二是建立边之间的等量关系.下面让我们一起来按两个不同方向分步求解本题.

一、转化为角的三角函数

第一步：将边转化为角的三角函数

第二步：求有关三角函数的最小值

二、建立边之间的等量关系

鉴于上面转化为角的三角函数的解法过程非常繁琐，势必影响我们思考能否先建立边a,c的等量关系，再来求4a+c的最小值，整个过程分成两大步，明确了解题方向，下面我们来分步求解.

第一步：建立等量关系a+c=ac

1.坐标法

2.利用内角平分线的性质

3.向量法

4.面积法

5.平面几何法

点评上面从多个不同角度来挖掘边a与c之间的等量关系，其中比较而言，利用面积法最简单，虽然S△ABD+S△CBD=S△ABC是非常明显的结论，但不易被学生发现；作平行线构造等边三角形和相似三角形这种平面几何法，其运算过程也相对比较简单.

第二步：求4a+c的最小值

1.利用均值不等式

2.利用柯西不等式

3.利用判别式法

点评用重要不等式求最值关键在于配凑，法1先消元，再配凑运用均值不等式；法2直接利用“1”的代换，整体配凑；法3运用柯西不等式时也要凑形式；法4运用判别式来求解，体现了方程思想，不过要注意等号成立的条件.

通过以上解法的探究，启示我们在平时的学习中要认真研究高考真题，要学会将复杂的问题进行分解，化整为零，学会从多个角度对同一问题进行分析，做到一题多解，提高思维的发散性，弄清问题的本质和问题解决的关键所在，学会突破解题瓶颈.只要我们解题时做到心中有目标，就可以分步求解，各个击破.