基于多元正态分布的飞秒激光烧蚀光斑质心提取

王福斌,刘梦竹,刘金旺

(华北理工大学电气工程学院,河北 唐山 063210)

1 引 言

飞秒激光[1]凭借脉冲宽度短、峰值功率高、热效应小、加工分辨率高等区别于长脉冲激光的优势,在微加工领域展现出了强大的生命力。激光加工单晶硅的过程中,单晶硅表面获得能量,使得表面粒子速度增大[2],进而导致材料表面的形态发生变化,进而导致烧蚀现象的发生[3-4]。近些年,飞秒激光的加工受到广泛关注,在制造领域我们最关心的就是调整激光参数来改善材料的加工质量,由此,对光斑的空间特性分析提出了越来越高的要求[5]。

针对当前激光光斑图像质心检测方法存在抗干扰能力差、检测精度低等缺陷,本文主要工作为采集飞秒激光烧蚀过程中的等离子体光斑序列图像,对光斑图像的质心进行提取,研究光斑质心随时间变化的物理运动规律,为后续实现基于光斑图像的飞秒激光微加工控制提供研究基础。

光斑灰度由中心向外逐渐衰减,没有清晰的光点边缘,提取质心一般采用基于灰度分布的方法,充分利用发光点图像中每个像素的灰度值。加工过程中,由于受到噪声的影响,光斑的灰度峰值可能发生偏差,提取误差较大,由此引入多元正态分布的极大似然法估计质心,在精度方面得到了很大的改善。

2 基于多元正态分布的光斑质心提取过程

2.1 光斑质心提取方案

若光斑图像的三维灰度特征近似服从高斯曲面分布,曲面中心像素点的灰度值就是此峰的最大值[6],用高斯曲面拟合法求取光斑质心,有较高的定位精度,同时具有较高的稳定性,但是计算量大,又由于受到噪声的影响,灰度峰值可能发生偏差,这给光斑质心的提取带来不便。

因此,采取一些措施来弥补不足,提取方法如下所示:

2.2 光斑质心提取方法

2.2.1 灰度质心法

灰度质心法[7-8]可以看作是以灰度为权值的加权型方法,首先,将飞秒激光光斑图像进行预处理,消除噪声,然后提取光斑质心。光斑质心的计算方法为:

(1)

灰度质心法计算方便快捷,但受噪声影响较大。

2.2.2 多元正态分布的极大似然估计

图1 光斑质心定位

图2 光斑图像的灰度特征

(2)

式中,(μ1,ν1)为质心坐标；σ为二维高斯函数的均方差；A为固定系数,可认为等于光斑质心亮度值。

考虑到光斑的x方向和y方向分别呈现不同的的σ值[10],则式(2)可转化为:

(3)

两边取对数得:

(4)

可将式(4)看作x和y的二次函数:

lnf(xi,yi)=t0x2+t1y2+t2x+t3y+t4

(5)

展开可获得5个参数:

(6)

求解5个参数是提取质心坐标的关键。因此,选取至少5个像素参与计算(本文选取6个像素点),令:

(7)

则可得Y=AB,对此方程求最小二乘解得到B=(ATA)-1ATY,即:

(8)

可得此高斯曲面拟合的质心坐标为(μ1,ν1),依次求取其他五个高斯曲面拟合的质心,以x方向为例,以这六个质心点作为最优点去拟合最优的高斯曲面:

(9)

多元正太分布的密度函数可表示为:

(10)

在各维度相互独立的情况下,多元正态分布的概率密度其实就是各个维度的正态分布密度函数的乘积。

3 仿真实验

3.1 三种方法的标准差比较

由于光斑图像真实的质心位置无法求得,所以不能使用各种质心提取法求得的质心坐标比较各自的精度。任何方法的质心提取坐标值都会产生误差,且在不同帧的光斑图像中误差会随机产生,对同一光斑图像来说,在多帧图像中提取的质心坐标随误差的增大会越加分散,以至于产生更大的误差。因此选取40帧图像,用同种方法提取质心,求得标准差d去比较各个方法的优劣,如式(11),标准差越小则精度越高。

(11)

灰度质心法可以看成是以灰度为权值的加权方法,要获得较为精确的质心坐标,光斑图像的灰度特征需在各个方向上对称,事实上,由于飞秒激光烧蚀光斑图像有一定的拖尾现象,因此使用该算法产生误差较大:d1=6.2712；

光斑图像的灰度分布近似于高斯曲面分布,用高斯曲面拟合法进行质心定位,可以较好的降低噪声对计算结果的影响,有较高的定位精度及稳定性[11-12],常用此方法求取质心,但由于受到噪声的影响[13],光斑的灰度峰值可能发生偏差,提取误差较大:d2=4.7115；

多元正态分布的极大似然法估计质心,在灰度质心法的基础上从多个方向拟合高斯曲面,在计算量和精度方面都得到了很大的改善,其标准差为:d3=2.1524；

三种方法的标准差如图3所示。

图3 三种方法的标准差

3.2 质心坐标分析

由多元正太分布的极大似然法估计出40个光斑图像的质心,质心坐标的分析如图4和图5所示,分别画出标准差同质心行坐标和列坐标的关系。图4中,横坐标为40个图像的质心行坐标,纵坐标为每个行坐标所对应的标准差。图5中,横坐标为40个质心列坐标,纵坐标为每个列坐标所对应的标准差。各自都呈现出V形,标准差随着坐标增大慢慢减小,到达一个节点之后随坐标增大而增大。

图4 行坐标与标准差之间的关系

图5 列坐标与标准差之间的关系

用40个质心行坐标和40个列坐标减去其平均值求取残差,分别观察残差随行坐标和列坐标的变化,如图6和图7,残差和对应的坐标值呈线性关系。

计算40个质心坐标的概率密度估计,绘制出概率密度曲线,如图8,横坐标为40个质心行坐标,纵坐标为行坐标所对应的的概率密度估计值。图9中,横坐标为40个质心列坐标,纵坐标为列坐标所对应的的概率密度估计值。两个函数都近似服从正态分布。

图6 残差随行坐标的变化情况

图7 残差随列坐标的变化情况

图8 行坐标的概率密度估计

图9 列坐标的概率密度估计

4 结 论

鉴于灰度质心法简单明了,计算速度快,但抗干扰能力差,高斯曲面拟合法有较高的定位精度,同时具有较高的稳定性,但是计算量大,又由于受到噪声的影响,灰度峰值可能发生偏差,引入了多元正态分布的极大似然估计法。比较于传统的质心定位方法,多元正态分布的极大似然估计法在灰度质心法的基础上估计质心,通过在多个方向拟合高斯曲面,克服了计算量大以及灰度峰值有偏差的难题,能够拟合出最优的高斯曲面来求取质心。其标准差相较于高斯曲面拟合法的标准差来说减小了2.5591,在精度方面得到很大的改善,同时又分析了序列光斑图像的质心坐标分布的规律,为后续实现基于光斑图像的飞秒激光微加工控制提供研究基础。