关于大数定律的教学思考

2020-10-09 11:05:33 科教导刊·电子版 2020年21期

摘要:大数定律揭示了随机变量频率的稳定性,是概率论的精华。由于本节内容比较抽象,理论性较强,学生在学习过程中不容易理解,本文尝试从生活实例出发,逐步介绍大数定律内容,对大数定律本质进行探讨。

关键词:大数定律;随机变量;频率;稳定性

中图分类号:G642.4     文献标识码:A

在大量重复性试验中,人们观察到,随机事件发生的频率稳定在一个具体数值附近。比如说,对于抛硬币试验,如果向上抛一枚硬币,硬币落下后,可能是朝上,也可能是朝下,但是当抛硬币试验重复多次进行时,就会发现硬币朝上和硬币朝下发生的次数各占总次数的一半。大数定律从数学角度出发揭示了随机变量频率的稳定性,具体研究了稳定性的确切含义以及出现的条件。

1大数定律的起源

研究随机变量频率的稳定性,类似于利用数学分析中极限的思想。在不改变试验条件下,当试验次数无限增大时,讨论频率是否逐渐稳定,由此得到概率的定义。

在重伯努利试验中,当试验次数充分大,频率趋近于一个稳定数值,也就是概率,即,与有较大偏差的发生的可能性非常小,这就是频率稳定性的真正含义。用数学语言描述,就可以得到下述伯努利大数定律。

伯努利大数定律:设表示重伯努利试验中事件发生的次数,为事件在每次试验中发生的概率,则对任意的,有

(2)

成立。

证明:可以借助切比雪夫不等式进行证明,详见文献[2]第六章。

伯努利大数定律是历史是第一个研究频率稳定性的定理。在实际推断中,当试验次数很大时,我们可以借助伯努利大数定律用频率来近似表示事件概率。

2弱大数定律

伯努利大数定律中随机变量的期望和方差都存在,对于更一般的情形,比如对于独立同分布的序列,只知道期望存在的条件下,仍然可以考虑频率稳定性问题,称为弱大数定律(辛钦大数定律)。

弱大数定律(辛钦大数定律):设为一列随机变量组成的序列,它们之间相互独立的,且服从同一分布,若数学期望,存在,则对任意的,有

(3)

成立,其中表示前项的算术平均值。

证明:详见文献[2]第六章。

辛钦大数定律给出了近似求解随机变量数学期望的方法。實际生活中经常用算术平均值去估计随机变量的均值。如:用观察到的某地区5000个人的平均寿命作为该地区的人均寿命的近似值。

3大数定律举例

例:用仪器检测已知物体的质量,经过次独立测量,得到的测量数据分别为,假设仪器不存在误差,问:当充分大时,仪器测量方差的值是否可取为?

解: 设为独立同分布的随机变量,具有数学期望与方差

,,

若仪器不存在误差,则,即有. 记

则为独立分布的随机变量,且

由辛钦大数定律定律,可得

从而当充分大时,可以取作为仪器测量的方差。

4结语

大数定律揭示了随机事件中偶然现象背后所隐藏的必然规律,是概率论与数理统计中非常重要的内容。除了伯努利大数定律和辛钦大数定律之外,还有泊松大数定律、切比雪夫大数定律以及马尔可夫大数定律。通过学习大数定律,掌握其本质思想,有助于解决一些实际问题。

作者简介:郭闪闪(1991.05—)女,汉族,河南周口人,重庆师范大学讲师,博士,研究方向:偏微分方程。

参考文献

[1]刘倩.大数定律的教学设计[J].高师理科学刊,2015(35).

[2]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第4版)[M].高等教育出版社,2008.

[3]李贤平.概率论基础(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[4]邱志平.大数定律教学设计探究[J].高等教育教学,2016.