基于动力吸振器理论的车下设备悬挂H∞和H2优化

陈杰，孙维光，郑伟，张立民，贺小龙

基于动力吸振器理论的车下设备悬挂H∞和H2优化

陈杰1，孙维光2，郑伟2，张立民1，贺小龙3

(1. 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，四川 成都 610031；2. 中车青岛四方机车车辆股份有限公司，山东 青岛 266111；3. 重庆文理学院 智能制造工程学院，重庆 402160)

将车下设备看作动力吸振器，车体考虑成弹性欧拉梁，以使最优的动力吸振器能有效的抑制车体共振。提出4种动力吸振器优化方法，即主系统位移的H∞和H2优化。主系统加速度的H∞和H2优化，获得车下设备最优悬挂参数。建立车辆-设备的垂向耦合动力学模型，比较4种优化方法对乘坐舒适性的影响。研究结果表明：车下设备的最优刚度比范围为0.82~1.00，最优阻尼比范围为0.04~0.29。4种优化方法都能抑制车体振动，其中位移H2优化能最大程度的提升乘坐舒适性。由于车体受到随机激励力，H2优化能降低主系统在所有频率上的总振动能量，比常用的H∞优化更适合铁道车辆。

铁道车辆；动力吸振器；参数优化；乘坐舒适度；频响函数

铁路车辆的舒适性不仅是现代铁路系统的必备条件，也是与其他交通工具竞争的重要因素。近年来，高速电动动车组(EMU)模式开始在车辆制造业推广[1−3]。许多必需的设备安装在车体底架上，这些设备的重量从几十公斤到几吨不等[4−5]。由于车身和设备的耦合作用，车体的一阶垂弯频率将降低至10 Hz甚至更低。人类对此频率范围最敏感，因此会在很大程度上影响乘客的舒适度[6−7]。为了抑制车体的振动水平，这些车下设备悬挂的最佳解决方案仍然是众多学者关注的焦点。为了研究车下设备对车身柔性振动的影响。LOU等[8]使用铁路车辆仿真模型，通过传递函数研究了设备悬架参数与车身模态频率之间的匹配关系。GONG等[9−10]分析了几何滤波效应与车身共振频率之间的关系，然后提出了一种最优的动力吸振器来降低车身共振。接着提出了一种车下设备为DVA的高速动车组车体多模态振动控制方法，研究了多模态振动对高速动车组乘坐质量的影响。SUN等[11]开发了一种两自由度DVA，该DVA能够同时控制车辆的弹跳和俯仰以控制铁路车辆的低频振动。石怀龙等[12−13]将多体动力学理论与有限元方法相结合，建立了车辆系统动力学模型，将车下设备作为动力吸振器来分析车身的振动响应。HUANG等[14]应用动力吸振器理论通过数值模拟和实验测试研究了悬挂参数对车身和设备自身振动的影响。Dumitriu[15]使用无设备和考虑多个车下设备的动力学模型，然后基于动力吸振器理论分析多个悬挂设备对乘客舒适度的影响。这些学者都使用基于动力吸振器理论的位移H∞优化，而H∞优化只考虑主系统的共振频率，此时为正弦激励下的最优动力吸振器。在铁路车辆系统中，由于轮轨的随机激励，车体也受到随机激励，只考虑正弦激励H∞优化的动力吸振器，是适合铁路车辆的最优动力吸振器吗？本文使用4种动力吸振优化方法来抑制车体的振动。将车体−设备系统简化为梁式动力吸振模型，考虑随机激励，推导了梁式动力吸振器的H2优化最优参数表达式，最后对比分析了4种动力吸振优化方法对乘坐舒适性的影响。

1 车辆−设备动力学模型

图1为车辆−设备耦合系统的垂向动力学模型，将车体看作一个均匀的Euler-Bernoulli梁，车辆的一系、二系和设备悬挂都采用Kelvin-Voigt型系统实现。

图1 车辆-设备耦合系统垂向动力学模型

该模型考虑了车体的沉浮z,点头和一阶垂弯振动，转向架的沉浮z和点头(=1,2)、悬挂设备的沉浮z，轮对的沉浮0j(=1,2,3,4)。车体垂向位移为刚性振动与柔性振动的叠加。因此车体的垂向位移可以表示为

则车体的垂弯特征函数为

式中：

车辆−设备耦合系统的振动可以用矩阵表示，

式中：，和分别为质量、阻尼和刚度矩阵，z为轨道位移输入矩阵，为铁路车辆系统中每个自由度的响应。

因此，车体上任意位置处的加速度频响函 数为

式中：H，和H分别为车体的沉浮、点头和弹性振动的频响函数。

2 基于动力吸振器理论的H∞和H2 优化

2.1 车辆−设备系统的简化模型

图2为车辆−设备耦合系统的简化模型，车体简化为自由梁，设备简化为动力吸振器[16]。()为激励力。

图2 动力吸振器模型

其中：(,)是梁的横向位移；是梁的弯曲刚度；是梁单位长度的质量；q()是吸振器的位移；δ(•)是狄拉克函数。k,c和m分别表示弹簧刚度，阻尼和吸振器质量。

式中，质量，阻尼和刚度矩阵以及位移和力向量 如下

式中：()是频响函数矩阵。

为了方便计算，引入以下参数转换：

此时，梁的横向位移频响函数可以表示为

式中，

其中，上标表示位移。梁的横向加速度频响函数(上标)可以通过位移响应的二阶时间导数得到

2.2 基于动力吸振器理论的H∞优化

使用固定点理论，当将2个共振幅值调整为相等的高度时，就可以实现H∞优化(即最大幅度响应的最小化)。当满足以下方程式时，可以达到最优 条件：

其中：表示H()或H()，和分别为固定点，的横坐标。

梁的横向位移频响幅值H∞优化方法在车下设备悬挂设计频繁使用，可以直接写出最优参数[12−15, 17]

梁的横向加速度频响幅值H∞优化最优参数 为[18]

2.3 基于动力吸振器理论的H2优化

H∞优化只考虑主系统的共振频率，最小化主系统的最大幅值响应；而H2优化能降低主系统在所有频率上的总振动能量，该优化准则中，主系统频响曲线下的面积(称为H2范数)最小。

如果主系统受到随机激励而不是正弦激励，动态系统在平稳随机过程中的响应也是平稳随机过程。梁受到随机激励的谱密度S()，其响应的谱密度S()为[19]

则平稳响应过程的方差[2]为

上式可以使用留数定理进行计算。当满足以下方程式时，可以达到最优条件：

则梁的横向位移的方差可以从式(12)，(20)得出：

梁的横向加速度的方差可以从式(14)，(20) 得出：

使用Mathematica软件进行符号运算，将式(22)代入(21)，梁的横向位移频响幅值H2优化最优参 数为

同样的，将式(23)代入(21)，梁的横向加速度频响幅值H2优化最优参数为

(a) 位移频响函数曲线；(b) 加速度频响函数曲线

由上述最优动力吸振器参数，可以计算出车下设备悬挂的最优刚度k和阻尼c，

3 数值仿真分析

3.1 车辆模型仿真计算

典型高速车辆模型的参数如表1所示。在计算车辆各自由度响应时，将采用京津城际轨道谱作为车辆−设备耦合模型的轨道激励输入，选择翟婉明院士提出的新型快速显式积分法。

本文引用了EN 12299:2009车辆舒适性指标的计算公式[20]

表 1 铁路车辆模型参数

使用表1的铁道车辆模型参数，结合式(5)和式(27)，则车体纵轴点的乘坐舒适度指数计算公 式为[6]

式中：()为轨道垂向不平顺激励的功率谱密度函数。

3.2 仿真结果分析

图4为无设备、刚性悬挂设备和弹性悬挂设备3种情况下车体中部加速度频率响应函数曲线，1.6 Hz处的峰值为车体的沉浮模态。当没有悬挂设备时，车体的垂直弯曲频率为9.3 Hz；当设备刚性固定在车体中部时，由于设备与车体同相振动，车体的第一弯曲频率降低到8.5 Hz，在该频率下，车体的振动幅度略有减小；采用弹性悬挂时，车体在之前的垂弯频率处不再出现峰值，由低频峰值和高频峰值代替，分别为7.4 Hz和11.1 Hz。低频峰值是由于设备与车体同相振动，增加了振动的总质量。高频峰值是由于设备与车体反相振动，减小了振动的总质量。由于设备与车体弹性连接，使设备表现为一个动力吸振器，从而改变车体的柔性振动 特性。

图4 车体中部加速度频响

车辆乘坐舒适度是根据加速度频响滤波后计算得到，所以加速度频响的H∞和H2优化也需关注。高速动车组车体底架安装多个设备，单个悬挂设备质量与车体质量比值范围为0.005~0.152[11]。图5为不同质量比的最优悬挂参数，最优刚度比随着质量比的增加而降低，最优阻尼比随着质量比的增加而增大。车下设备的最优刚度比范围为0.82~1.00，最优阻尼比范围为0.04~0.29。

为了分析车下设备悬挂参数不同优化方法对舒适度的影响，分别计算了4种优化方法的车体参考点舒适度指数变化趋势，其中设备质量M=4 000 kg，悬挂位置l=13 m。图6为4种优化方法不同运行速度下的车体3个参考点舒适度指数曲线。由图可以看出，位移频响的H∞和H2优化设备悬挂效果较好，加速度频响的H∞和H2优化并不占优势。比较位移频响的H∞和 H2优化，一位端和二位端的舒适度指数曲线基本相同，而在车体中部，H2优化效果比H∞优化好。在运行速度160~320 km时，相比其他3种优化方法，位移频响的H2优化中部舒适度指数最小。

(a) 最优悬挂刚度比；(b) 最优悬挂阻尼比

4种不同优化方法仅在车体中部舒适度有明显差异。图7为不同设备质量的车体中部舒适度指数，其中运行速度为250 km/h，设备悬挂位置l=13 m。由图7可以看出，随着设备质量的增加，舒适度指数降低，有利于乘客的舒适性。在不同的设备质量下，位移频响的H2优化效果最好。图8为不同悬挂位置的车体中部舒适度指数，其中运行速度为250 km/h，设备质量M=4 000 kg。由图8可以看出，悬挂位置越靠近车体中部，舒适度指数就越低。在不同的设备悬挂位置下，位移频响的H2优化表现最好。

(a) 车体中部舒适度指数；(b) 一位端舒适度指数；(c) 二位端舒适度指数

图7 不同设备质量的车体中部舒适度指数

图8 不同悬挂位置的车体中部舒适度指数

4 结论

1) 车体受到轨道的随机激励，而H∞优化只考虑了车体的共振频率。H2优化能降低主系统在所有频率上的总振动能量，如果主系统受到随机激励而不是正弦激励，那么H2优化比H∞优化更可取。

2) 车下设备弹性悬挂能有效的抑制车体振动，根据4种优化方法，车下设备的最优刚度比范围为0.82~1.00，最优阻尼比范围为0.04~0.29。

3) 随着动力吸振器质量的增加，舒适度指数降低，有利于提升乘客舒适性。动力吸振器悬挂位置靠近车体中部减振效果最佳。

4) 对比4种动力吸振器优化设计方法，发现采用基于动力吸振器理论的位移频响H2优化，能最大限度的降低车体振动。由于车体受到随机激励，相比于传统的位移H∞优化，位移H2优化具有更高的可行性。

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H∞and H2optimization of under-vehicle equipment suspension based on dynamic vibration absorber theory

CHEN Jie1, SUN Weiguang2, ZHENG Wei2, ZHANG Limin1, HE Xiaolong3

(1. Traction Power State Key Laboratory, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China;2. CRRC Qingdao Sifang Co., Ltd., Qingdao 266111, China;3. School of Intelligent Manufacturing Engineering, Chongqing University of Arts and Sciences, Chongqing 402160, China)

The under-frame equipment is regarded as a dynamic vibration absorber, and the car body was considered to be an elastic Euler beam. The optimal dynamic vibration absorber can effectively suppress the resonance of the car body. Four optimization methods of dynamic vibration absorber were proposed, namely H∞and H2optimization of the displacement of the main system, H∞and H2optimization of the acceleration of the main system, and the optimal suspension parameters of the under frame equipment were obtained. A vertical coupled dynamics model of the vehicle-equipment was established to compare the effects of the four optimization methods on ride comfort. The numerical analysis results show that the optimal stiffness ratio range of the under-frame equipment is 0.82~1.00, and the optimal damping ratio range is 0.04~0.29. Four optimization methods can suppress the vibration of the car body, and the displacement H2optimization can maximum improve the ride comfort. Due to the random excitation force on the car body, H2optimization can reduce the total vibration energy of the main system at all frequencies, which is more suitable for railway vehicles than the commonly used H∞optimization.

railway vehicle; dynamic vibration absorber; parameters optimization; ride comfort; frequency response function

U463.33

A

1672 − 7029(2020)09 − 2363 − 09

10.19713/j.cnki.43−1423/u. T20191122

2019−12−12

重庆市教育委员会科学技术研究资助项目(KJQN201901323)；重庆文理学院人才引进资助项目(R2019FJD02)；重庆市自然科学基金面上资助项目(cstc2019jcyj-msxmX0730)

张立民(1960−)，男，辽宁昌图人，研究员，从事车轮制动分析与控制研究；E−mail：zhanglimin@swjtu.edu.cn

(编辑 蒋学东)