填空题中的数形结合技巧

2020-10-19 08:52
数理化解题研究 2020年28期
关键词:填空题图象数形

张 忠

(福建省福安市第一中学 355000)

数形结合技巧是解答一些相应的填空题中非常有效的一类方法,破解的基本思维就是利用题目条件,建立对应的图形、图象,借助图形或图象的直观性,利用图形或图象的形象以及数量的关系来合理转化,巧妙破解.数形结合法处理时,直观形象,简捷有效,是破解小题中的一大常见思维,在数学中占有十分重要的地位.

一、函数问题中的数形结合技巧

破解一些函数的填空题时,直接联系函数图象,通过对函数性质的分析,结合相应的图象,对相应的函数或方程问题加以转化,转化为相应的函数图象问题,数形结合,根据题意条件,结合性质简捷分析与求解.

例1已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,那么在区间[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R且k≠-1,k≠0)的根的个数最少有____个,最多有____个.

分析直接确定相应方程的根的个数无从下手,而通过函数的性质作出相应的函数图象,利用直线的性质,数形结合来处理相应的函数问题.

解析先作出x∈[0,1]时,f(x)=x的函数图象,根据f(x)是以2为周期的偶函数,作出在区间[-1,3]内的图象,而由于直线y=kx+k+1过点(-1,1)的一簇直线,结合y=f(x)的图象(如下图),易知相应的方程的根的个数最少有1个,图中上面的那条直线与函数图象的交点情况;最多有4个,图中下面的那条直线与函数图象的交点情况,

故分别填答案:1,4.

图1

点评抓住函数的图象与性质是解题的关键,同时要相应直线所表示的是一簇直线,利用一簇直线的变化,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.通过方程中的相关问题,转化为函数来处理,结合方程与函数的对应关系作出相应的图象,达到求解的目的.

二、几何问题中的数形结合技巧

涉及一些三角形、圆等几何问题时,若有效借助数形结合,根据数中思形,以形助数,可以直观有效地加以转化,合理构建关系,正确破解相应问题.

分析根据曲线的实质,把问题转化为直线与双曲线的一部分之间有一个公共点的问题,利用数形结合加以直观化,从而形象直观,简捷处理.

图2

点评抓住题目条件中直线与曲线的本质,回归图象原型,正确画图,准确直观,利用直线与曲线的图象的交点情况加以正确解决,从而合理破解相应的解析几何问题.

三、三角问题中的数形结合技巧

三角函数的图象与性质是三角函数的重要部分,借助三角函数图象与性质来处理问题,模型熟悉,直观快捷.

分析通过条件中辅助角公式的应用,借助正弦型函数的图象与性质加以数形结合,从而直观确定方程的解的和问题.

图3

点评结合三角函数的图象数形结合,正确判断出对应的方程的解的对称情况,从而得以直观确定两个角的和的值,直观形象,快速处理.

四、不等式问题中的数形结合技巧

对于一些含有不等式背景的填空题,通过平面区域等关系知识的转化,运用数形结合,往往能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.

例4设实数x,y满足x2+(y-1)2=1,若对于满足条件的x,y,x+y+c≥0恒成立,则实数c的取值范围为____.

分析结合题目条件,把对应不等式中的恒成立问题求解参数的值,转化为直线和圆的位置关系,通过数形结合来处理相应的参数的取值问题.

图4

点评:抓住不等式恒成立与平面区域之间的关系是破解问题的关键所在.合理借助图象直观,数形结合,可以把不等式恒成立问题直观化,形象化,从而实现数形结合的巧妙应用.

当然,数形结合技巧只是解答填空题的一种特殊的策略,有时还要多种方法并重,与其他的破解方法加以组合,共同形成合力,进而快速有效地破解填空题,实现小题不大做,小题巧解,小题妙算,小题直观形象处理.

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