巧用“旋转变换”添加辅助线

马猛

【摘要】平面几何辅助线的添加是学生学习中的难点，利用旋转变换思想添加辅助线学生更是不易掌握，本文通过几个例题总结利用旋转变换思想添加辅助线的规律和技巧。

【关键词】旋转变换   辅助线   转化

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（2020）20-126-02

平面几何的辅助线添加对学生来说一直是不易突破的难点，恰当的辅助线添加往往可使一道不易解决的问题突然柳暗花明，对复杂的几何问题往往起到拨云见日的效果。而辅助线的添加 又常具有一定的规律性和技巧性，下面就从利用旋转思想添加辅助线加以总结。

知识基础

旋转定义：一个图形绕一个定点（旋转中心），沿一个方向（顺时针或逆时针），旋转一定的角度（旋转角）。

旋转性质：

1.旋转前后的两个图形全等。（对应边相等，对应角相等）

2.旋转前后的对应顶点到旋转中心的距离相等。

3.对应点和旋转中心的连线夹角相等。（都等于旋转角）

题型一   等边三角形中的“旋转”

例  已知：如图，点P是正三角形△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A顺时针旋转后得△P'AB.

（1）求点P、P'之间的距离

（2）求∠APB的度数

分析：问题中已告知△PAC与△P'AB是旋转前后的对应图形，因而具备旋转的性质，只需连接点P、P'，即可利用旋转的性质解得。

解：（1）连接点P、P'

由题意可知 △PAC≌△P'AB

易得∠P'AP =∠BAC=60°

∵P'A=PA            ∴△P'AP为等边三角形

∴P'P =P'A=PA=6

（2）在△P'PB中，P'P =6，P'B=PC=10，BP=8

∴P'P2+BP2=P'B2          ∴△P'PB为Rt△，

∴∠P'PB=90°

由（1）知 ∠P'PA=60°

∴∠APB=150°

归纳：本题的图形经过旋转，三条原本比较分散的已知线段得到集中，产生了特殊的等边三角形和直角三角形，从而问题得解。

变式：（2019 巴中）如图 ，等边三角形△ABC内有一点P，分别连接AP、BP、CP，若PA=6，BP=8，CP=10，求S△ABP+S△BPC的值。

分析：三角形求面积，常规的方法是须知道三角形的底和底上的高的值，利用三角形面积公式进行计算。但此问题中两个需要求面积的三角形虽知道一边长，但无法求出此边上的高。题目中线段6，8，10虽是熟悉的勾股数，但线段分散，无法建立直角三角形，可通过旋转，使三条线段进行集中，把要求的两个普通三角形转化为特殊的图形面积进行计算。

解：∵等边三角形△ABC

将△BPC以点B为旋转中心，逆时针旋转60°，使BC与BA重合，点P旋转到点P'处（如图）

连接点P、P'

由旋转可知，P'B=PB=8  ，P'A=PC=10

∠P'BP =∠ABC=60° ∴△P'BP为等边三角形

∴P'P =P'B=BP=8

在△P'PA中，P'P =8，P'A=10，PA=6

∴P'P2+AP2=P'A2              ∴△P'PA为Rt△

S△ABP+S△BPC=S△ABP+S△BP'A

=S△P'BP+S△P'PA=16  3+24

归纳：本题方法思路与上个例题十分接近，通过旋转变换，把两个普通的三角形面积转化为特殊的三角形面积进行计算，不再赘述。

类型二   正方形中的“旋转”

例 已知：如图  正方形ABCD，E为BC边上一点，F为CD边上一点，且∠EAF=45°.

求证：EF=BE+DF

分析：题目求三条线段间的和差关系，但三条线段比较分散，需通过恰当的添加辅助线，把线段集中，把不易证明的多条线段和差关系转化为常规的线段相等关系，即把线段BE、DF集中成为一条线段即可。

证明：∵正方形ABCD

将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB 重合，点F的对应点为点F'，如图

由旋转可知，DF=BF'，

AF=AF'，

∠ABF'=∠ADF =∠ABC= 90°

∴点F'、B、E在一条直线上

∠BAF'=∠DAF

又∵∠EAF=45°

∴∠BAE+∠DAF=45°

∴∠EAF'=∠BAE+∠BAF'=45°

∴∠EAF'=∠EAF

又∵AE=AE， AF'=AF

∴△EAF≌△EAF'

∴EF=EF'

∵EF'=BE+ BF'=BE+DF

∴EF=BE+DF

变式：已知： 如圖  正方形ABCD，M为BC边上任一点，AN平分∠DAM，交CD边于点N.

求证：AM=BM+DN

分析：与上面例题类似，我们可以通过恰当的图形变换，将线段BM、DN进行集中，把线段的和差关系转化为线段的相等关系。

证明：∵正方形ABCD

将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD 重合，点M的对应点为点M'，如图

由旋转可知，

BM=DM'， AM=AM'， ∠DAM'=∠BAM，

∠ADM'=∠ABM =∠ADC= 90°，

∴点M'、D、N在一条直线上

∵AN平分∠DAM

∴∠DAN=∠MAN

∴∠DAM'+∠DAN =∠BAM+∠MAN

即∠M'AN=∠BAN

又∵AB∥CD

∴∠BAN=∠M'NA

∴∠M'AN=∠M'NA

∴M'A=M'N

又∵M'N= M'D+DN=BM+DN

∴AM= M'A=M'N=BM+DN

归纳：在正方形中证明线段的和差关系，且线段比较分散，可以借助旋转变换，将线段改变位置，从而把多条线段的关系转化为常见的线段相等关系来证明。

题型三   多边形中的“旋转”

例 已知：如图 五边形ABCDE中，∠ABC =∠AED= 90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，求S五边形ABCDE.

分析：题目中图形为不常见的不规则五边形，其面积没有固定可用的公式计算，需要转化为有面积公式可用的规则图形面积进行计算。且题目所给的条件AB=CD=AE=BC+DE=2中，由于线段BC、DE较分散，不便于应用BC+DE=2，因而需要把线段BC、DE进行集中，最好转化为一条线段以便应用。

解：如图  连接AC、AD，

∵AB=AE

将△ABC绕点A顺时针旋转，使AB与AE 重合，点C的对应点为点C'，如图

由旋转可知，BC=EC'， AC=AC'，

∠BAC=∠EAC'，∠AEC'=∠ABC

=∠AED= 90°，

∴点C'、E、D在一条直线上

∵AB=CD=AE=BC+DE=2

DC'=DE+ EC'=DE+BC=2

∴S△DAC'=    ·DC'·AE=2

又∵AD=AD'，AC= AC'，CD= DC'

∴△DAC≌△DAC'

∴S△DAC= S△DAC'=2

∴S五邊形ABCDE= S△BAC+ S△DAC+ S△DAE

= S△EAC'+ S△DAC+ S△DAE

=S△DAC+S△DAC'=4

归纳：本题通过旋转变换，将不规则的五边形面积转化为易求面积的两个全等三角形面积进行计算。

总结：1.通过变换题目条件或图形，使条件或结论发生转化，是解决问题的一个常见思路，旋转变换的使用往往能起到关键作用。

2.旋转变换是添加辅助线改造原图形的一个启发，有一定的规律性，往往通过选择有公共顶点的相等线段作为旋转前后的对应边。

3.旋转的目的经常是使分散的条件更加集中。

4.在等腰直角三角形、等边三角形、正方形等特殊的图形中更常使用旋转变换方法解决问题。

【参考文献】

[1]《平面几何旋转变换解题方法》郭琦如 2001年9月《贵州师范学院学报》.

[2]《中外数学竞赛集锦》刘鸿坤.沈阳教育出版社.1988 .