基于投影模型的区间直觉模糊多属性决策方法研究

曾守桢，骆丹丹

(1.宁波大学 商学院,浙江 宁波 315211； 2.复旦大学 管理学院,上海 200433)

0 引言

直觉模糊集[1]同时考虑了事物隶属度、非隶属度和犹豫度，因而在处理不确定和模糊信息方面更具优势。但在实践中，由于决策问题的复杂性和多样性，使得评价者或决策专家难以准确给出评价意见的隶属度，更多时候只能给出隶属度和非隶属度的大致区间。鉴于此，Atanassov 和Gargov[2]对直觉模糊集进行了推广，提出了区间直觉模糊集的概念，并研究了区间直觉模糊集的运算法则、拓扑结构等基础理论。因其具备较强的实用性，区间直觉模糊集得到了学界的广泛关注，相应的成果也较为丰富[3～7]。

在众多相关成果中，投影法[8,9]是一种概念清楚、涵义明确、计算简单的决策方法，目前已经成功应用于各类直觉模糊多属性决策问题。比如，Xu和Hu[10]在直觉模糊集模的基础上，重新定义了直觉模糊投影的概念，并将其应用于多属性投资问题；卫贵武[11]提出了一种直觉模糊多属性投影决策方法，其通过备选方案在虚拟正、负理想方案上的投影，计算出每个方案关于正、负理想方案的相对隶属度，从而得到所有方案的排序结果。另外，针对属性权重完全未知的直觉梯形模糊多属性决策问题，巩奕成等[12]提出了一种直觉梯形模糊灰关联投影寻踪动态聚类法，该方法根据灰关联投影值的大小对备选方案进行分类、排序和择优；针对属性值为区间直觉模糊的多属性决策问题，王晓等[13]提出了基于区间直觉模糊投影思想的目标规划模型，利用得到的属性权重，结合区间直觉模糊数的得分函数和精确函数对方案进行排序和决策；邵良杉[14]等提出了一种基于前景理论的双向投影决策方法，其利用区间直觉模糊熵和方案区间投影总偏差最小的非线性规划模型，求解属性权重；吴坚等[15]也提出了一种基于投影法的区间型多属性决策两阶段优化模型。

然而，现有投影方法在定义和应用等方面仍存在比较大缺陷。特别是，在度量投影向量之间的相近程度或者相关关系方面，有待进一步研究。比如，Xu等[16]指出，经典的投影方法并不能完全度量两个向量之间的相似关系，特别是，当投影向量的模比被投影向量的模大时，投影值大小并不能反映其相似程度；Chuan[17]也对投影方法的缺陷进行了分析，指出现有投影方法受投影向量模的约束，只有当两个向量的模满足一定关系时，投影关系才成立。

综上所述，虽然区间直觉模糊集已广泛应用于多属性决策问题，但对基于投影方法的区间直觉模糊多属性问题，尚需提出更有效的解决思路。本文立足于这一问题，首先提出了一种改进的区间直觉模糊投影方法，并根据正负理想方案与备选方案的投影关系构建了属性权重的求解模型,最后提出了一种基于改进投影值的新贴近度公式，以实现对备选方案进行择优排序，能有效克服现有方法的缺陷。

1 区间直觉模糊集定义与运算

Atanassov和Gargov[2]在直觉模糊集的基础上提出了区间直觉模糊集，定义如下：

定义1[2]设Z是一个非空集合，则称

(1)

(2)

(3)

(4)

2 区间直觉模糊投影方法

在经典投影方法的基础上[8,9]，文献[13,14]提出了区间直觉模糊集的投影概念，定义如下:

(5)

(6)

(7)

(8)

3 基于投影模型的属性权重不完全的区间直觉模糊决策方法

设A={A1,A2,…,Am}为决策问题的方案集，G={G1,G2,…,Gn}为属性集，其属性权重向量为w=(w1,w2,…,wn)T。在进行多属性决策时，一般需要事先给出属性的权重。但是，客观事物的不确定性、人类思维的模糊性以及时间压力、知识和数据缺乏等，均会导致专家提供的属性权重信息不完全。现假设不完全权重信息结构可以表示为如下形式[18]：

(1)弱序：{wi≥wj}；

(2)严格序：{wi-wj≥αi(>0)}；

(3)倍序：(wi≥βiwj),0≤βi≤1；

(4)区间序：{γi≤wi≤γi+ε}i,0≤γi≤γi+εi≤1；

(5)区别序：{wi-wj≥wk-wl},j≠k≠l。

为方便起见，用H表示专家提供的不完全属性权重信息集。如何通过已知的评价信息和不完全权重信息，实现方案的排序优选是学界一直关注的问题。下面，利用本文提出的区间直觉模糊投影方法来处理该类问题，以验证方法的可行性和科学性。

第三步，建立投影优化模型。确定属性权重的一个重要原则是，要使每个决策方案的评价值更接近正理想方案，同时尽可能远离负理想方案。因此，需要建立投影模型以确定属性权重，有：

(9)

由于上述2个目标的重要性程度相同，因而模型1可转化为如下的单目标规划。不失一般性，记为模型2，满足：

(10)

通过求解上述模型，可得出指标的权重向量：w=(w1,w2,…,wn)T。

第四步，方案优选排序。针对区间直觉模糊信息的方案排序问题，邵良杉和赵琳琳[14]提出了一种基于传统投影方法的区间直觉模糊信息TOPSIS方法，该方法首先计算方案Ai(i=1,2,…,m)的相对贴近度C(Ai)(i=1,2,…,m)，有：

(11)

然后根据贴近度C(Ai)的大小对方案进行排序，即C(Ai)越大，备选方案Ai(i=1,2,…,m)越优。

但是，最近有学者[19,20]发现，在一些现实评价与决策问题中，通过上述定义的相对贴近度得到的最大方案，有时并不能同时满足与正理想解最近A+和与负理想解A-最远的基本准则。另外，如前所述，传统投影方法还受到投影向量模大小的约束。因此，为改进上述两方面的缺陷，下面提出一种基于改进投影模型的TOPSIS新贴近度计算方法，有:

(12)

4 实例分析

表1 区间直觉模糊评价信息

下面，根据前文提出的方法，对上述问题进行决策。

第一步，根据评价信息确定正理想方案和负理想方案，分别满足：

A+=(([0.5,0.6],[0.1,0.3]),([0.7,0.8],[0.1,0.2]),

([0.5,0.6],[0.2,0.4]),([0.6,0.8],[0.1,0.2]))

A-=(([0.2,0.4],[0.3,0.4]),[0.1,0.3],[0.5,0.6]),

([0.2,0.4],[0.4,0.5]),([0.2,0.3],[0.4,0.6]))

第二步，利用(8)式，分别计算备选方案Ai(i=1,2,…,5)在正理想方案A+和负理想方案A-上的加权投影结果，有：

第三步，根据方程(10)，构建基于区间投影方法的权重优化求解模型，有：

通过求解上述优化模型，得到属性权重向量为w=(0.15,0.4,0.2,0.25)T。

第四步，根据求解的属性权重大小，计算方案Ai(i=1,2,…,5)在正理想方案A+和负理想方案A-上的加权投影值，有：

然后，根据方程(12)计算每个方案的贴近度：

CI′(A1)=-0.72,CI′(A2)=-1.01,CI′(A3)=0
CI′(A4)=-0.92,CI′(A5)=-1.22

第五步，利用CI′(Ai)(i=1,2,…,5)的计算结果，对所有方案Ai(i=1,2,…,5)进行综合排序，有：A3≻A1≻A4≻A2≻A5,因此，最佳备选方案为A3。

此处，为更好突出本文所提方法与现有方法的区别，下面利用邵良杉和赵琳琳[14]提出的传统投影方法，计算每个方案的贴近度C(Ai)(i=1,2,…,5)，可得：

CI(A1)=0.52,CI(A2)=0.48,CI(A3)=0.67

CI(A4)=0.47,CI(A5)=0.44

因CI(A3)>CI(Ai)(i=1,2,4,5)，可得到最佳备选方案为A3，与本文提出的方法得到的最优备选方案一致。但是，该方法得到的完整排序结果为A3≻A1≻A2≻A4≻A5，与本文得到的结果略有差别，主要体现在方案A2和A4排序上。主要原因在于，在CI(Ai)的计算过程中，有：

|A2|(=1.811)>|A-|(=1.603)
|A4|(=1.712)>|A-|(=1.603)

该结果不能满足传统区间直觉模糊投影方法中关于模大小的约束条件。根据前面的分析可知，由此计算得出的投影值不合理，而本文提出的区间直觉模糊投影方法，能有效改进该问题，且提出的新贴近度方法在一定程度上解决了现有方法中关于同一方案会同时接近正负理想解的困境。

另外，值得注意的是，CI(Ai)(k=1,2,3,4,5)的计算结果都非常接近，而本文提出的新贴近度CI′(Ai)(i=1,2,3,4,5)大小变化明显，说明CI′(Ai)在计算区分度上比CI(Ai)要敏感，这也是本文方法较传统方法的另一大优势。

5 结论

本文研究了基于投影模型的区间直觉模糊多属性决策方法，主要创新工作如下：(1)针对区间直觉模糊投影方法存在的缺陷，提出了一种改进的区间直觉模糊投影方法。该方法不受投影向量模大小的约束，能更有效地度量投影向量之间的相关程度；(2)基于该新投影方法，利用正负理想方案与备选方案的投影关系，构建了区间直觉模糊多属性问题中的属性权重求解模型，计算简洁高效；(3)设计了一种基于投影模型的区间直觉模糊TOPSIS方法，并给出了一种新贴近度计算思路，能有效解决最优方案不能同时满足与正理想解最近和与负理想解最远的困境，且实证结果表明，该方法在计算区分度上比现有方法更科学有效。