“算两次”思想的妙用

2020-11-06 07:36葛岫红
关键词:等量折痕妙用

葛岫红

在数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立起等量关系.我们把这种思想称为“算两次”.“算两次”也称为富比尼原理,是一种重要的数学思想,下面以“算两次”面积为例,说明这种数学思想的妙用.

一、求线段的长度

例1(2019年·天津)如图1,正方形纸片ABCD的边长为12.E是边CD上的一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF点F在AD上.若DE=5.则GE的长为____.

解:由折叠及轴对称的性质可知△ABF≌△GBF,BF垂直平分AG.故BF⊥AE.所以∠AFH= ∠A ED(均与∠DAE互余),则△ABF≌△DAE(角角边),AF=DE=5.

∴AG:2AH=120/13

∵ AE=BF=13.

∴ GE=AE-AG=49/13.

13

二、推导乘法公式

例2 图2是由边长为a和6的两个正方形组成的.通过用不同的方法计算图中阴影部分的面积,可以验证的一个公式是_____

点评:这里,通过“算两次”阴影部分的面积得到了等量关系.

三、求线段的和差

例3 如图4,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4.P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F则PE+PF的值是( ).

A. 12/5

B.25

C.5/2

D. 13/5

练习

1.如图6,在◇ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD 于点F.若AE=4,AF=6,◇A BCD的周长为40.求oABCD的面积.

2.如图7,在△ABC中,AB=AC.点D是BC上的任一点.DE⊥AB,DF ⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为E,F,G.

求证:DE+DF=BG.

(答案在本期找)

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