洞察高考导数题命题策略命制高考模拟题

华南师范大学数学科学学院(510631) 陈俊阳

一、引言

试题是数学教学中必不可少的材料，也是训练、检测学生的重要素材之一.但当今部分教师对考试大纲、课程标准、教材和高考的认识和理解较多受经验主义影响，对其缺乏系统性和整体性的认识.此外，由于一线教师日常教学任务繁重，从各类教辅资料或模拟卷中选取习题和考题的现象早已成教学常态.而把握高考命题趋势，挖掘试题背后的数学原理和命题策略，有助于教师命制高质量的模拟题，发展学生的关键能力与核心素养.

不少学者分析了近几年高考中“函数与导数”试题的命题特点和命题视角，比如，文献[1-3]，但少有学者剖析如何构造函数并结合高考趋势命制导数题.下文将讨论这一问题.

二、构造函数

在高考导数题中，常常出现导函数可因式分解的情形，在讨论单调性时不需过多地利用复杂的变形技巧，只需对每个因式进行讨论即可，这有利于考查学生对基本思想方法的掌握，同时也让导函数具有“美感”.那么如何才能构造出这样的函数呢?

(一)理论基础

定理如果函数f(x),g(x)具有相同的驻点(导数值为零的点，包含极值点)x=x0，那么由它们线性运算生成的函数F(x)=af(x)+bg(x)也有驻点x=x0.

证 明已知f′(x0)=g′(x0)=0，于是F′(x)=af′(x) +bg′(x)，从而F′(x0)=0，进 而x=x0是函数F(x)=af(x)+bg(x)的驻点.

推论如果函数f1(x),f2(x),··· ,fn(x) 具有相同的驻点x=x0，那么由它们线性运算生成的函数F(x)=a1f1(x)+a2f2(x)+···+anfn(x)也有驻点x=x0.

由此可知，若要构造出导函数具有“美感”的函数，可以对两个(或以上)具有相同驻点的函数进行线性运算.因此，构造这样的函数需要熟悉一些特殊函数的驻点(见表1).其中实数m/=0,n ＞0,a ＞0,b ∈R.

表1 特殊函数的驻点

(二)高考实例

例1(2013年高考全国Ⅰ卷理科第21 题) 已知函数f(x)=x2+4x+2，g(x)=(2x+2)ex.(2)若x≥-2 时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.

分析f(x)，g(x) 的驻点均为x=-2，于是F(x)=kg(x)- f(x) 的驻点也是x=-2.事实上，其导函数为F′(x)=2(x+2)(kex-1)，含因式x+2.

例2(2016年高考全国Ⅰ卷理科第21 题) 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个不同的零点x1,x2.

(1) 求a的取值范围; (2) 证明x1+x2＜2.

分析f1(x)=(x-2)ex，f2(x)=(x-1)2的驻点均为x=1，于是f(x)=f1(x)+af2(x)的驻点也是x=1.事实上，其导函数为f′(x)=(x-1)(ex+2a)含因式x-1.

抓住函数f(x)的特点后，结合表1，可对本题推广:

推广函数f(x)=(x-k-1)ex+a(x-k)2有两个不同的零点x1,x2，常数k ∈R，实数a为参数.(1)求a的取值范围; (2)证明:x1+x2＜2k.(提示: (1)a ＞0; (2) 构造F(x)=f(x)-f(2k-x).)

例3(2014年高考山东理科第21 题) 设函数f(x)=(1) 略; (2) 若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.

分析的驻点均为x=2，于是f(x)=f1(x)-kf2(x)的驻点也是x=2.事实上，其导函数为含因式x-2.

抓住函数f(x) 的特点后，结合表1，可对本题推广.设常数α ＞1.其导函数为由此原题可推广为:

推广若函数f(x)在(0,α)内存在两个极值点，求k的取值范围.

(三)总结

之所以部分高考导数题中导函数可以因式分解，是因为原函数是由若干个驻点相同的函数线性运算得到的.认清这类函数构造的原理，对驻点一般化，保持导函数结构的不变性，即可对这类高考题进行推广.

三、高考导数题命题视角

把函数构造出来后，需要从不同的视角考查学生.下面主要以近10年高考全国Ⅰ卷理科导数解答题(以下不特别说明均指全国Ⅰ卷理科题)为例，分析导数题的命题视角.

(一)切线问题2011、2013、2014 和2015年均考查切线问题.命题角度均为已知含参函数的切线，求参数的取值范围.此外，此类题型还可以反向设问，即已知函数求在某点的切线.这类问题属于简单题.

(二)单调性问题2010、2012、2017 和2018年均考查了单调性问题.命题角度有两个: 已知确定函数，求单调性(2010，2012);讨论含参函数的单调性(2017，2018).

例4(2010年高考新课标理科第21 题) 已知函数f(x)=ex -1- x - ax2.(1) 若a=0，求f(x) 的单调区间;(2)当x≥0 时，f(x)≥0，求a的取值范围.

(三)恒成立问题2010-2013年均考查了恒成立问题.命题角度主要是已知函数恒成立求参数取值范围或最值.其通性通法主要是利用导数讨论函数的单调性从而研究恒成立问题(如例4).

(四)不等式证明2014、2016、2018年均考查了不等式证明问题.命题角度有两个: 证明一元不等式;证明二元不等式.其中，2014年(例5)考查了整体与部分的思想，将复杂函数整合成两个常见函数并比较最值，较为新颖.2016年(例2)以极值点偏移为背景，研究两个零点之和与极值点两倍的不等关系.此外，2017年全国ⅠⅠⅠ卷理科第21 题考查了函数与数列不等式的问题.

例5(2014年高考全国Ⅰ卷理科第21 题) 已知函数曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)＞1.

例6(2017年高考全国ⅠⅠⅠ卷理科第21 题) 已知函数f(x)=x-1-alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值;(2)设m为整数，且对任意正整数n，m，求m的最小值.

(五)零点问题2015、2016、2017、2019年均考查了零点问题.命题角度有两个: 已知函数的零点个数，求参数取值范围;讨论函数的零点个数.事实上，这两个命题角度的本质是相仿的.既可以求导结合单调性和零点存在定理解决，又可以数形结合解决.

四、命题实践

结合函数构造的策略以及近十年全国卷理科导数解答题的命题视角，下文将例谈如何命制具有“高考味道”的导数模拟题.

(一) 步骤1: 构造函数为考查对数函数的相关知识，考虑其导函数为驻点为x=1.再考虑一个驻点同为x=1 的函数f2(x)=(x-1)2，加入参数k并将它们线性运算得其导函数为

(二)步骤2: 多视角命制模拟题

视角1: 单调性及恒成立问题

由于恒成立问题常常需要借助函数单调性来讨论，因此考虑有梯度地进行设问.

第一问考查求已知函数单调性的问题.令k=1 将含参函数转化为已知函数，降低题目难度，为第二问的解答提供思路.

第二问考查恒成立问题.由f′(x) 知，当k≥0 时f(x) ≥f(1)=1; 当k ＜0 时，结合单调性可知f(x) ≥1不恒成立.还可以利用极限思想，k ＜0 时，当x →+∞时，f(x)→-∞.由此可得类似2010年全国Ⅰ卷理科第21 题(见例4)的模拟题:

模拟题1已知函数(1) 当k=1 时，求函数f(x) 的单调性; (2) 当x ＞0 时，f(x)≥1 恒成立，求k的取值范围.

视角2:零点问题及不等式证明

为命制类似2016年高考全国Ⅰ卷理科第21 题(见例2)的模拟题，第一问考查零点问题并求参数取值范围，在此基础上第二问考查关于零点与极值点的不等式证明，即极值点偏移问题.命题时可以先结合图象特征，再严格证明.

图1

当k≥0 时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且最小值为f(1)=1.结合函数图象知，a ＞1时，y=f(x) 与y=a有两个交点x1,x2，极值点左偏，x1+x2＞2.

第一问通过讨论单调性或分离参数即可解决;第二问需构造函数g(x)=f(x)-f(2-x).由此可得:

模拟题2已知函数关于x的方程f(x)=a有两个不相等的实数解x1,x2.其中实数a为参数.(1)求a的取值范围;(2)证明:x1+x2＞2.

视角3: 函数不等式证明

2014年高考全国Ⅰ卷理科第21 题(见例5) 考查了整体和部分的思想，将指数和对数分离从而证明不等式.为命制类似题目，考虑f(x) 先减后增且最小值为f(1)=1，于是添加一个含对数的函数，并且是先增后减最大值不大于1，因此考虑，求导得g′(x)=于是g(x)在(-∞,n-a)上单调递增，在(n-a,+∞)上单调递减，最大值为g(n-a).下面提供两个命题尝试:

(1)令n=1，若让g(x)max=g(1-a)=e1-a≤1，则可取a=1，于是得

(2) 令n=2，要让g(x)max=g(2- a)=由于e1.5≈4.48＞4，故可取于 是 得g(x)=但此时需要给出一些数的近似值.再通过简单变形可得:

模拟题3已知函数(1) 求函数f(x) 的单调区间; (2) (简单版) 证明: 当x ＞0时，exf(x)＞x+1; 或(2) 证明: 当x ＞0 时，exf(x)＞((参考数据: e0.5≈1.65,e ≈2.72,e1.5≈4.48)

注记欲考查学生数形结合的思想，还可设问: 证明: 当x ＞0 时，函数y=exf(x) 的图象恒在抛物线上方.

视角4: 数列不等式证明

2017年高考全国ⅠⅠⅠ卷理科第21 题(见例6)考查了函数与数列不等式问题，运用函数思想解决数列问题.其命题思路是第一问可得不等式，为第二问解决数列问题提供工具.

k≥0 时，恒成立，令k=0 有，于是

模拟题4已知证明:f(x)≥1;(2) 证明: 对任意正整数n，不等式成立.

五、结语

以同一个函数为主体，切合高考命题视角，命制多道导数模拟题，覆盖近10年高考导数考点，有助于加强学生对高考题考查的思想方法的掌握，让学生体会到高考题万变不离其宗，换汤不换药.换的是“函数”，不变的是基本思想方法.