认识函数不等式ex≥x+1

云南省玉溪第一中学(653100) 武增明

1 初识函数不等式ex ≥x+1(x ∈R)

人教版高中数学课本选修2-2 第32 页习题B 组有一道习题: 利用函数的单调性，证明不等式ex ＞1+x,x /=0，并通过函数图象直观验证.[1]

2 再识函数不等式ex ≥x+1(x ∈R)

2.1 切线背景

图1

不难证明，函数y=ex在x=0 处的切线方程为y=x+1，如图1 所示.观察图象可知，函数y=ex的图象总是在切线y=x+1 的上方，所以从图1 中可以抽象出不等式ex≥x+1，当且仅当x=0 时等号成立.

2.2 函数背景

构造函数f(x)=ex-x-1，通过求导，可证明f(x)≥0，即ex≥x+1(x ∈R).

2.3 函数不等式ex ≥x+1(x ∈R)的变形

函数不等式ex≥x+1(x ∈R)很容易衍生出十分丰富、十分优美、十分简洁的不等式，这些不等式在高考函数不等式和数列不等式证明中有广泛运用.同时，每一个不等式都有强大的放缩功能作用.

为了便于理解、记忆，下面以思维导图的形式给出函数不等式ex≥x+1(x ∈R)的变形不等式.根据解题需要，可以把上述不等式中的x换成如n，n+1，等.

3 函数不等式ex ≥x+1(x ∈R)及其变形的运用[2]

函数不等式ex≥x+1(x ∈R)的赋值功能非常强大，如果对函数不等式ex≥x+1(x ∈R)及其各种变形中的x进行不同的赋值，可使许多看似棘手的不等式问题得到解决.

例1(2014年高考全国Ⅰ卷理科第21 题) 设函数曲线y=f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线为y=e(x-1)+2.

(1)求a，b的值;

(2)求证:f(x)＞1.

分析(1) 解得a=1，b=2，过程从略.(2) 由(1)得f(x)=exlnx+，从而f(x)＞1等价于我们熟悉不等式ex≥x+1，所以ex-1≥x，即ex≥ex，整理有

再由ex-1≥x，得，即两边取以e 为底的对数，即整理得

例2(2011年高考湖北卷理科第21 题) 若ak,bk ＞0(k=1,2,··· ,n)，a1· b1+a2· b2+···+an · bn≤b1+b2+···+bn.

分析lnx≤x-1，令x=ak,bklnak ＜bk(ak-1)(k=1,2,··· ,n)，

b1lna1+b2lna2+···+bnlnan

＜a1b1+a2b2+···+anbn-(b1+b2+···+bn)≤0

例3(2014年高考陕西卷理科第21 题) 设函数f(x)=ln(1 +x)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x) 是f(x)的导函数.

(1) 令g1(x)=g(x)，gn+1(x)=g(gn(x))，n ∈N+，求gn(x)的表达式;

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围;

(3)设n ∈N+，比较g(1)+g(2)+···+g(n)与n-f(n)的大小，并加以证明.

分析(3)实际上就是要比较与n-ln(n+1)的大小，即比较与ln(n+1) 的大小.只需对不等式赋值得1,2,··· ,n)，然后求和便是.

例4(2017年高考全国新课标卷Ⅲ理科第21 题)已知函数f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值;

(2) 设m为整数，且对于任意正整数n，求m的最小值.

分析(2)对lnx ＜x-1 进行赋值得可得

例5证明下列不等式:

由于篇幅所限，这里不能给出例5 的所有解答，下面仅给出第(6)，(9)，(15)，(18)题的解答.

第(6)题解析对函数不等式lnx≤x-1 进行赋值，令x=n2，得lnn2＜n2-1，由此得再赋值，累加，得

第(9)题解析对函数不等式lnx≤x-1 进行赋值，令得分别令n=1,2,3,··· ,n，累加可得

第(15) 题解析要证即 证即证即 证

由lnx≤x -1，得ln(1 +x) ≤x.令有分别令n=1,2,3,··· ,n，累加，得

第(18) 题解析对函数不等式lnx≤x -1，得ln(x+1) ≤x，由此得1 +x≤ ex进行赋值，令x==0,1,2,··· ,n-1)，得0＜1-所以≤ e-k.分别取k=n-1,n-2,··· ,1,0，累加即获证.

例5 中的不等式都是从某些函数与导数综合题或高考题中截取的，大家可以从中领略函数不等式ex≥x+1(x ∈R)赋值功能的强大和神奇.

函数与导数的综合问题在历年高考和各类模拟试题中一般处于压轴题的位置.作为压轴题得分一般都很低，因为有时在推理和运算过程中需要对表达式进行适当的变形与调整，而在很大程度上，这个变形与调整往往是整个题目能否解决的一道分水岭，甚至成为很多学生不可逾越的鸿沟.其实很多表达式的变形与调整与函数不等式ex≥x+1(x ∈R)有关，只要我们的学生心里装着函数不等式ex≥x+1(x ∈R)，对函数不等式ex≥x+1(x ∈R)及其衍生的一些常用函数的组合有较高的敏感度，那么就会使十分困难的表达式的变形与调整变成一件十分自然和水到渠成的事情了.[2]