基于频率数据与稀疏正则化的悬臂梁损伤识别*

聂滋森，李冬安，曹明志，汪利，吕中荣

（中山大学航空航天学院，广东广州510275）

近年来，随着综合国力的不断增强，国家在高层建筑、桥梁、海洋钻探平台、机械、船舶、飞机等大型结构的建设投入了巨额资金。在此类结构设施实际的工作和运行中，由于复杂的工作环境、荷载长期作用引起的疲劳、地震等偶然自然灾害的作用，结构通常会不可避免地出现损伤破坏。因此，发展针对工程结构的损伤识别技术有着十分重要的理论和现实意义。为此，国内外的研究者提出了许多基于结构振动响应的损伤识别法，如时域、频域灵敏度分析的有限元模型修正法、群智能优化算法等。但由于损伤识别是典型的反问题，其具有非适定性，即对测量误差十分敏感。因此，发展新的能克服损伤识别非适定性的方法是必要的。

为了克服损伤识别的非适定性，可引入Tikhonov 正则化［1-2］和稀疏正则化［3］（或称为L1 范数正则化［4-5］/压缩感知［6］）。稀疏正则化假设损伤位置尽可能地稀少［3］。这种假设对于损伤识别是非常合理的，因为结构的实际损坏经常发生在裂缝、塑性等几个稀疏位置。正则化的本质是引入额外的约束，在更多约束下，非适定的反问题变成了适定的问题。稀疏正则化已被证明即使只有少量测量数据［7］，也可以明显提高损伤识别的准确性和鲁棒性［8-10］。本文使用频率数据进行损伤识别分析。首先，基于梁线性振动的本征方程，构造了一个新的关于损伤参数解耦的目标函数。然后，通过稀疏正则化来设置约束条件，求得该目标函数的极值，并由此推断梁的损伤位置和程度。最后，通过悬臂梁实验，验证了本文所提损伤识别方法在识别损伤位置时的有效性。

1 基于频率数据的结构损伤识别方法

1.1 目标函数的构建

1.2 根据目标函数求解损伤参数

2 实验验证

2.1 悬臂梁振动测试

通过振动梁实验，验证损伤识别方法的有效性。实验的研究对象为800×50×5 mm 的302 号不锈钢梁（弹性模量为193 GPa，密度为7 930 kg/m3），开展力锤法实验并使用加速度传感器测量梁的加速度，部分实验仪器见图2。对加速度数据进行处理，可得到低阶的频率数据。将梁划分为16 个单元（17 个结点，见图3），并将梁一端固定在一支架上，尽量与固支的条件相近。实验过程中，主要测量了三种损伤情况的频率：a）未损伤悬臂梁；b）一处损伤悬臂梁，损伤位置位于梁的7、8号结点之间；c）两处损伤悬臂梁，损伤位置分别位于梁的7、8 号结点之间和梁的3、4 号结点之间（见图4）。相关频率数据见表1。通常，结构的有限元模型存在误差。此时，可采用无损梁的振动频率来修正有限元模型；修正前后梁的频率仍见表1。

图1 损伤识别算法流程Fig.1 Damage identification algorithm process

图2 部分实验仪器Fig.2 Part of the experiment instruments

图3 梁的示意图Fig.3 Diagram of the beam

2.2 实验结果与分析

根据测量的频率数据，使用提出的损伤识别方法，可以识别出两种损伤梁的损伤位置和程度。关于一次损伤梁的损伤识别结果见图5，而关于二次损伤梁的损伤识别结果见图6。从图中可以看出：对于一次损伤梁，识别的损伤位置包括单元7，损伤程度约为0.39；而对于二次损伤梁，识别的损伤位置包括单元3和单元7，损伤程度分别约为0.32和0.40。两根损伤梁的损伤位置识别均与实际情况吻合，且损伤程度识别也比较合理。在所有损伤识别结果中，单元1 均被识别为损伤单元。这是因为单元1 靠近固支端，而固支约束可能存在松动，从而产生等效损伤。本实验中，仅用4个频率就能很好地识别结构的损伤。

图4 梁的损伤Fig.4 Damage of the beam

表1 几种工况下测量到的频率以及无损时的理论频率1）Table 1 Frequency under three different conditions and the theoretical frequency of the unscathed beam

图5 不同数据选择下得到的损伤识别结果（一处损伤）Fig.5 Identification of the damage using different set of frequency data(with one damage)

3 结 论

本文提出了一种基于少量频率数据和稀疏正则化的结构损伤识别方法。核心主要有两方面：首先，提出了一种针对损伤参数解耦的目标函数，并引入稀疏正则化处理损伤位置稀疏性的约束；其次，使用交替优化方法求解损伤识别问题，并提出阈值设定法快速确定正则化参数。为验证损伤识别方法的有效性，进行了悬臂梁实验。结果表明，本文所提方法确实仅需要少量的频率数据便能很好地识别出损伤位置和程度。