基于多中点弦测法的钢轨波磨测量不确定度分析

殷华，万灵

基于多中点弦测法的钢轨波磨测量不确定度分析

殷华1，万灵2

(1. 江西农业大学 软件学院，江西 南昌 330045；2. 江西农业大学 工学院，江西 南昌 330045)

钢轨波磨的准确测量一直是铁路工务中的难点，虽然从理论上多中点弦测法已被证实能够对钢轨波磨进行测量,但目前缺乏计量方法。为了准确评估多中点弦测法的误差分布，在无法取得钢轨波磨真值的前提下，以双中点弦建立了误差传递模型并采用蒙特卡罗方法计算测量不确定度。研究结果表明：多中点弦测量结果误差大小与原始波磨幅值呈正相关、与超限波长呈负相关，从整体来看，双中点弦测量相对误差约为7%，能够满足实际铁路工务应用。

钢轨波磨；弦测法；不确定度；误差分析

波磨病害广泛存在于各既有线路上，会导致噪声与振动，严重时还会造成机车脱轨，带来严重后果。虽然国内外诸多学者们对钢轨波磨进行了长时间的研究，从不同方面解释了其成因，但由于轮轨之间作用较为复杂，目前尚无哪一种理论能够完整解释波磨产生的机理，波磨病害没有办法避免。因此，对钢轨表面状态进行日常巡检，在保养维护过程中对波磨病害加以关注，以期尽可能早的发现问题、抑制其进一步恶化成为当前铁路工务养护的重点内容之一[1−3]。由于铁路自建成起就固定在路基上不可移动，现场环境复杂多变且缺乏恒定的基准，而钢轨波磨的幅值又通常在1 mm以下，这些因素都给钢轨波磨的快速测量带来了困难。因此，长期以来业界主要采用动态的惯性法和静态的弦测法对钢轨波磨进行检测[4−5]。惯性法由加速度传感器来完成，在测量设备高速行进的过程中对探测到的加速度信号进行二次积分得到波磨幅值；而弦测法采用平直尺(通常为1 m)来完成，以手工测量的方式得到数据后逐段拼接得到测量结果。这2种方法各有优劣：动态的惯性法测量成本高且重复性稍低，静态的弦测法重复性较好但测量效率低下。为了能够兼顾检测效率与精度，殷华等[6−7]对传统的弦测方法进行改进，提出了基于多中点弦测量原理的钢轨波磨动态检测小车，经过理论分析与现场试验已被证实能够用于实现对钢轨波磨进行快速、有效的测量。但由于目前尚无钢轨波磨弦测的计量标准，钢轨波磨的真值无法准确得到，并且钢轨表面状态的复杂性、小车制造过程中弦中点位置的偏差、弦长的偏差以及传感器本身的不确定性都会对测量结果造成一定影响。因此，深入分析多中点弦测量结果的不确定度来源，明晰在多个因素的影响下弦测结果的误差分布，对钢轨波磨多中点弦测量理论的发展、实际工程应用过程中减少测量结果误差，得到尽可能准确的波磨测量结果具有重要的理论及现实意义。

1 钢轨波磨多中点弦测原理

将一根刚性的弦静止于钢轨表面，弦的首尾与钢轨表面接触，在弦的中点位置安装一个测量传感器，采用接触或非接触的方法来得到其与钢轨表面的垂直距离，此即为中点弦测法，其测量值可由式(1)表达：

式中：表示测量弦的长度，1和X分别表示该弦在钢轨表面起点、终点的位置坐标，2表示安装在弦中点处的测量传感器的位置坐标，()轨面不平顺函数。

根据文献[8−9]，钢轨波磨波长通常在1 m以下且具有一定的准周期性，若设其周期为，即()()，则由式(1)可知，中点弦测法所得结果同样存在周期性。对其进行频域变换，可得传递函数为

为了克服这种缺陷，文献[6−7]提出了多中点弦测量的思想，根据单一的中点弦测法位置不存在偏差这一特点，设计了一种基于双中点弦测量原理的波磨检测小车(如图1)，将多个中点测量弦的结果进行叠加后再进行逆滤波计算得到波磨幅值。

图1 双中点弦测小车

此时，弦测结果及其频域特性可以分别表示为式(4)和式(5)：

式中：表示所使用中点弦的数量。按照这种思想，总能找到至少一个合理的弦的数量和长度的组合使得对目标区间内的所有待测波长均不存在无响应的零点。以上述双中点弦测量小车所用的174 mm和292 mm结构为例，图2为其幅值增益波长响应曲线：若采用单中点弦结构，不论是174 mm还是292 mm的弦长都存在不止一个无响应的零点；而当采用174+292 mm双中点弦进行组合测量后，幅值增益曲线不存在零点，且更加平缓。随后，再利用频域逆滤波的方法[10]，根据该幅值增益曲线计算出波磨的真实幅值。在理想情况下，无论组成测量小车的弦长为多少，只要其幅值增益波长响应曲线不存在无响应的零点，且不考虑振动与系统装配精度的影响，双中点弦测量结果与原始波磨幅值对比在理论上误差最大不会超过0.02 mm。因此，双中点弦测法理论上能够得到准确的钢轨波磨测量 结果。

图2 双中点弦测量幅频特性曲线

2 测量不确定度评定方法

根据前述可知，采用多中点弦测量的方法改善了幅值增益−波长响应曲线，消除了测量时无响应的零点，使弦测法准确测量钢轨波磨变为了可能。但上述分析均在理想情况下进行的，而在实际工程中，中点弦结构的制造偏差、钢轨表面状态的复杂、传感器本身的测量不确定性及其他相关因素都会对测量结果带来一定的误差，在无法得到钢轨波磨真值的前提下，上述因素究竟会对多中点弦测量造成多大的影响，多中点弦法测量结果的不确定性有多少，这些都是从理论上必须考虑的问题。

通常，要得到一个系统的不确定度主要有2种方法：基于《测量不确定度表示指南》提出的GUM方法和基于蒙特卡洛传递分布(MCM)方法[11]。采用GUM方法得到待测对象不确定度需要经过建立准确的模型、利用偏导求灵敏系数等关键步骤，但随着测量系统的越来越复杂，很多时候无法建立统一的数学模型，更无法求得灵敏系数，特别在输出量概率分布明显不对称时，GUM方法还有可能得到不正确的结果。而蒙特卡洛方法是根据待测系统的不确定度来源及分布特点，选用合适的概率分布模型随机产生模拟输入的数据代入计算，从而得到分布传播规律的一种数值方法，适用于具有一个或以上输入量、单一输出量的测量模型。其基本步骤为：

1) 根据待测系统的特点，建立测量模型=(1,2,…,X)，其中表示系统的输出，X(=1, 2, …，)表示对输出有影响的各个输入量。

2) 根据X的特点，选定合适分布类型

3) 设定参与蒙特卡洛实验的样本的大小，选择每个X的个样本，代入到前面的测量模型中，可以获得的多个输出。

4) 将得到的多个进行排序，得到的分布函数及约定概率下的包含区间[y,y]。

由于多中点弦测法模型复杂，在计算的过程中会涉及到多个影响参数的输入、频域变换、逆滤波等过程，无法建立精确统一的数学模型。因此，对其不确定度的评定采用蒙特卡洛方法得到。

3 多中点弦测量不确定度来源

由于已完成了双中点弦测量样机的制作且能够正常获取数据，故下面以具有5个测头的双中点弦测量小车为基础进行分析。测量小车采用5个基恩士公司推出的CMOS点激光位移传感器IL-100构成双中点测量弦，其发射波长为655 nm的红色半导体激光，线性度最高可达±0.025%，输出1～5 V的模拟电压，对应距离测量范围为−5 mm～+5 mm。模数转换器选用ADI公司的AD7606芯片，其具有双极性16位分辨率和8路信号同步采样，避免了异步采样延时误差的产生。

3.1 数据采集系统误差分析

虽然传感器在出厂时已经标注了精度，但是测量信号经过后端调理电路、采样、量化等过程后都会引入各种误差，因此需要对整个采集系统的误差进行重新评定。对安装在测量小车上的5个传感器器进行校准，由于波磨幅值较小，校准通过测量5 mm标准量块进行，得到如表1所示数据。

表1 对5 mm量块的测量结果

通过计算可以得到5个测头10个样本的均值与方差。考虑到传感器误差通常满足正态分布且样本数量较少，故可以使用式(6)中的2个公式来分别估计每个测头均值及方差区间，并以此为依据来作为实际测量时的误差。

3.2 多中点弦结构误差影响

从前述多中点弦测量原理可知，要利用多中点弦结构对钢轨波磨进行测量必须满足以下2个条件：弦的长度须与理论设计值一致，每根测量弦必须严格为中点弦，否则传递函数会受到影响，继而在频域逆滤波的过程中产生误差。但在双中点弦测量设备制造和安装过程中，由于机械结构加工精度和传感器手动安装限制，双测量弦的长度、中点测头的位置都会有所偏差，那么这些误差需要控制在什么样的一个范围内才会对最终结果影响最小，也是必须考虑得问题。

3.2.1 弦长偏差的影响

式(8)中：表示待测波磨的目标波长。从上式可以看出，误差大小受测量弦长、待测目标波长及弦长误差1,2影响。以样机中采用的174 mm和292 mm弦长为例，给出1,2在不同目标波长下的误差Δ变化情况(图3)，考虑到在实际机械加工与安装过程中，不可能出现5 mm以上的误差，因此1,2取值限定在5 mm之内。

(a) 174 mm弦长；(b) 292 mm弦长

从图3可以看出，不论是174 mm的弦还是292 mm的弦只要在制造和装配的过程中出现了少许误差，其对幅值增益−波长响应曲线的影响是较大的。特别是对于200 mm波长以下的波磨，其最大的幅值增益误差可超过0.4，但对于400 mm以上的波磨，幅值增益误差较小。

3.2.2 弦中点偏差的影响

除了弦长误差外，弦中点误差同样会对最终测量结果造成影响，因此，在制造装配的过程中同样要对弦中点的位置进行严格限定。根据式(4)～(5)，一旦中点测头的实际位置偏离了弦的中点，那么中点弦就变成了偏弦，其不再满足中点弦测法中相位不发生偏移的特性。此时，双弦测法的传递函数将变为式(9)：

式中：原始的设计弦长分别是1，2，但中点位置发生了偏移，形成了1，2的偏弦结构，且≠，≠。同样以174 mm+292 mm的双弦组合为例，讨论中点偏差在5 mm之内时的测量结果误差如图4。

从图(4)中分析可知，当中点偏差达到2 mm时，幅值增益偏差就超过0.1而相位偏差接近于0.5弧度，测量结果与实际结果偏差严重，因此，弦中点误差不应该超过2 mm。另外，在理想情况下只要5个测头均垂直于钢轨表面可以得到较为理想测量弦长和双弦结构。但由于安装过程中会出现误差且小车在钢轨表面推行时，轨道不平顺会对测量小车的姿态造成一定影响，故此时测头实际上是垂直于测量弦的。由于钢轨波磨的幅值通常不会大于5 mm，为了模拟在钢轨表面走行时测量小车姿态改变带来的测头的变化范围，采用在实验室中垫入5 mm标准量块方法，近似可以估算小车各测头之间距离变化范围如表2。

(a) 最大幅值增益误差；(b) 最大相位偏差

表2 5 mm量块下测量弦变化范围

考虑到钢轨表面波磨满足准正弦特征，其幅值呈均匀分布，因此在小车姿态影响下双测量弦的长度同样会符合均匀分布，双弦的概率密度函数如式(10)，并以此作为蒙特卡罗分析的输入。

3.3 外界温度及其他影响

考虑到测量小车为铝合金材质，而我国铁路轨道分布较为广泛，当外界环境发生变化时，小车本身的热胀冷缩同样会使得弦长发生一定的变换。设小车的原始长度为，则根据热膨胀计算公式(11)可以计算机出环境温度每增加1度，小车长度变 化为：

′=×(1+23.8×0.000 001) (11)

另外，还有编码器引起的采样误差、受温度变化待测钢轨同样会发生膨胀等等，但通过理论计算机同样发现其带来的变化较小，故此处暂时不予考虑。

4 基于蒙特卡洛的不确定度分析

要对中点弦测结果的不确定度进行准确的评定，模拟生成的轨道与实际轨道的相符程度至关重要，在这方面国内外学者进行了很多研究，产生了诸如二次滤波法、白噪声滤波法等方法，但这些方法或是针对某种特殊类型不平顺进行模拟、又或是计算过程过于复杂不具有通用性，导致不能在实际中快速运用。考虑到钢轨波磨的严重程度采用粗糙度谱来进行评价，Nielsen等学者综合上述方法，提出利用多个正、余弦波叠加的方法来模拟轨道不平顺，其核心是通过采用ISO3095标准中对钢轨踏面粗糙度的评价方法，构造符合粗糙度谱标准的钢轨波磨[12]。

设当前在频带内随机生成复合波由下式表示，并据此求得均方根为R

设R与R之间的关系为,为每个频率成份的长度，y为第个频带内符合ISO标准的幅值，则可由式(13)表示。

将上式简化可y与y之间的关系

由此，只需要求得就可以得到满足ISO3095中钢轨踏面粗糙度要求的轨道模拟波形。该算法受到轨道踏面粗糙度评价标准的制约，可以得到满足同一粗糙度水平下的多个随机波形，且当需要在某一频段产生特定的波磨病害时，只需要改变t值即可。利用上述方法构造钢轨波磨模拟波形，同时按照铁路工务的实际工况，设定温度在范围−20～+60 ℃之间均匀分布，双中点弦测小车的信号采集系统为正态分布，分布参数在式(7)中随机选择，受钢轨波磨影响小车姿态改变带来的各传感器之间的间隔变化为均匀分布。为了更可能的接近真实的钢轨现场工况，在生成的波形中随机加入中心波长超限波形并叠加信噪比为20 dB的白噪声。共生成模拟轨道500 000段，每段取10 000个点，共产生了5×109个测试数据点进行蒙特卡罗分析，由此取得误差的均值和概率分布。图5为某段生成的模拟轨道波形及幅值的95%概率区间，从图中可以看出幅值约为±0.5 mm。

(a) 模拟波形；(b) 模拟波形的95%概率区间

图5 生成的模拟钢轨波磨波形

Fig. 5 Waveform of Simulation of track irregularity

由于已经从传感器误差、数据采集系统误差、弦长及弦中点误差方面对174+292 mm的双中点弦测量小车进行了不确定度来源分析，确定了误差的概率分布，故在此同样利用174+292 mm的双中点弦结构在模拟轨道上进行测量。图6为测量后，复原波形与原始波形之差，从图6(a)中可以看出除首尾部分外，最大相差不超过0.02 mm(这是因为首尾部分在频域逆滤波时被截断导致，实际应用中可以忽略)，而从图6(b)中亦可以看出误差的95%概率区间在±0.02 mm内，相对误差为4%。

(a) 复原误差；(b) 复原误差的95%概率区间

考虑到钢轨波磨的波长恒定机理，分别设定40～400 mm中单一中心波长超限，超限幅值在信噪比0～150 dB之间随机选择，在不确定度来源、概率分布、样本数量与之前一致的前提下，得到的钢轨波磨原始幅值与双中点弦逆滤波结果的标准差及95%概率分布如表3所示。从表中分析可知，受到各种不确定的因素影响，不论是复合波磨波长超限还是单一波磨波长超限，弦测结果会与模拟轨道的波磨真值有所偏差：超限波长越短，相对波长误差越大，超限波长越长，相对误差越小；模拟轨道波磨幅值越大，弦测结果偏差越大；而模拟轨道波磨幅值越小，弦测结果偏差越小；但从整体来看，多中点弦测结果相对误差均值约为7%，该误差能够满足铁路工务中对钢轨波磨测量需求。

表3 波长超限原始波磨幅值与弦测小车测量误差对比

5 结论

1) 测量弦的弦长误差、弦中点位置偏差都会对钢轨波磨的测量结果产生影响，同时受到各种不确定的因素影响，不论是复合波磨波长超限还是单一波磨波长超限，弦测结果都会与模拟轨道的波磨真值有所偏差, 偏差越大影响越多。

2) 波磨幅值与弦测结果偏差密切相关；以174+292 mm的双中点弦结构为例，在实际检测设备达到文中所列的装配精度后，通过蒙特卡罗分析得到平均相对误差约为7%，此时，双中点弦测法适合铁路工务中对轨道波磨检测。

3) 若采用三中点弦及以上的多中点弦结构，测头数量的增加、测量弦数量的增加使得测量结果受更多因素影响，因此必须按照文中方法对其测量不确定度进行重新评定，确定满足实际需求的工程装配精度。

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Uncertainty evaluation for rail corrugation measurement based upon multi-chord method

YIN Hua1, WAN Ling2

(1. School of Software, Jiangxi Agricultural University, Nanchang 330045, China;2. College of Engineering, Jiangxi Agricultural University, Nanchang 330045, China)

An effective method to measure the rail corrugation accurately on railway engineering has been quite a task in railway maintenance management for dozens of years. Although multi-chord based method has been proved can be measured rail corrugation easily, it lacks metrological method. Due to the true value of rail corrugation cannot be obtained, the error transfer model was established as well as uncertainty was calculated by Monte Carlo Method(MCM)for evaluating the error distribution of the multi-midpoint chord method. The data simulation and test results show that the error of multi-chord based method is positively correlated with the amplitude and negatively correlated with the wavelength, the relative error of double chord method is approximately 7%.Thus, it is appropriate for engineering application.

rail corrugation; chord measurement method; uncertainty; error analysis

U216.3；TH17

A

1672 − 7029(2020)12 − 3036 − 09

10.19713/j.cnki.43−1423/u.T20200110

2020−02−14

江西省自然科学基金资助项目(20192BAB206032，20202BABL214041)；国家自然科学基金地区科学基金资助项目(51468042)

万灵(1986−)，女，江西吉安人，讲师，博士，从事结构智能监测、灾害预警等方向的研究；E−mail：wanlingstar@126.com

(编辑 涂鹏)