立体几何中平行和垂直问题的证明

■江苏省华罗庚中学 李普红

平行与垂直关系的证明是高考考查立体几何的高频考点，大部分问题都可以用传统的几何方法解决，有一部分问题需要建立空间直角坐标系利用空间向量解决。用传统法解题时，应注重线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等问题的性质定理和判定定理的灵活应用。用向量法解题时，应建立恰当的空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标。

考向一:证明线面平行

例1如图1，已知空间几何体BACDE 中，△BCD与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3，底边为BC 的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD。

（1）试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明；

（2）求三棱锥E-ABC 的体积。

图1

解析：（1）如图2 所示，取DC 的中点为N，BD 的中点为M，连接 MN，则MN 即为所求。

连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH。

因为△ABC 是腰长为3的等腰三角形，H 为BC 的中点，所以AH ⊥BC。

又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AH ⊂平面ABC，所以AH⊥平面BCD。

同理可证EN⊥平面BCD。

所以EN∥AH。

又M，N 分别为BD，DC 的中点，所以MN∥BC。

图2

又MN∩EN=N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，所以平面EMN∥平面ABC。

又EF ⊂平面EMN，所以EF ∥平面ABC，即直线MN 上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行。

（2）连接DH，取CH 的中点为G，连接NG，则NG∥DH。

由（1）可知EN∥平面ABC，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等。

又△BCD 是边长为2的等边三角形，所以DH ⊥BC。

又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD =BC，DH ⊂平面BCD，所以DH ⊥平面ABC，所以NG⊥平面ABC。

考向二:证明面面平行

例2如图3，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q 是BC 上一个动点，且BQ=λQC（λ＞0）。

（1）当λ=1 时，求证：平面BEF∥平面A1DQ。

（2）试问：是否存在λ，使得BD⊥FQ? 若存在，请求出λ 的值；若不存在，请说明理由。

解析：（1）当λ=1 时，Q 为BC 的中点，因为E 是AD 的中点，所以ED=BQ。

又ED∥BQ，则四边形BEDQ 是平行四边形，所以BE∥QD。

图3

因为E，F 分别是AD，A1A 的中点，所以EF∥A1D。

因为BE∩EF=E，EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，所以平面BEF∥平面A1DQ。

（2）如图4，连接AQ，BD，FQ。

因为 A1A ⊥平面ABCD，BD ⊂ 平面ABCD，所以A1A⊥BD。

若 BD ⊥FQ，又A1A，FQ⊂平面A1AQ，且A1A ∩FQ=F，所以BD⊥平面A1AQ。

因为AQ⊂平面A1AQ，所以AQ⊥BD。

在矩 形ABCD 中，由AQ ⊥BD，得△AQB∽△DBA，则所以AB2=AD·BQ。

图4

考向三:证明线面垂直

例3如图5，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M 是PC 上一点，且BM⊥PC。

（1）求证：PC⊥平面MBD；

（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值。

解析：（1）连接AC，由PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得BD⊥PA。

又BD⊥AC，PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC。

又PC⊂平面PAC，则PC⊥BD。

又PC⊥BM，BD∩BM=B，所以PC⊥平面MBD。

图5

（2）由（1）知PC ⊥平面 MBD，则∠PBM 是直线PB 与平面MBD 所成角。

易证PB ⊥BC，而BM ⊥PC，不妨设PA=1，则BC=1，

考向四:证明面面垂直

例4如图6，在四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，E，M 分别是BC，PD 的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为，点F 在PC 上移动。

图6

（1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD；

（2）当F 恰为PC 的中点时，求二面角C-AF-E 的余弦值。

解析：（1）连接AC，因为底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC 是正三角形。

因为E 是BC 的中点，所以AE⊥BC。

又AD∥BC，所以AE⊥AD。

因为PA ⊥平 面ABCD，AE ⊂平 面ABCD，所以PA⊥AE。

又PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD。

又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD。

由此可证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD。

（2）由（1）得AE，AD，AP 两两垂直，则以A 为坐标原点，AE，AD，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图7所示的空间直角坐标系A-xyz。

因为AE⊥平面PAD，所以∠AME 是EM 与平面PAD 所成的角。

又AD=AB=2a，设PA=2b，则M（0，a，b），所以AM=从而b=a，所 以PA =AD =2a，则A （0，0，0），B（a，-a，0），C（a，a，0），D（0，2a，0），P（0，0，2a）

平行或垂直关系的证明常出现在解答题的第一问，对同学们的直观想象能力要求很高。特别地，有一类问题是只有在第一问利用几何法证明了垂直关系，才能在后面的问题中建立空间直角坐标系解题，所以平时应注重这方面的训练。