菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主的科研共性和教育观点分析

郝顺利

菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主的科研共性和教育观点分析

郝顺利

（北京第二外国语学院 基础科学部，北京 100024）

菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主是数学拔尖创新人才的杰出代表．对16位菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主的科研共性和教育观点进行分析，发现他们的科研共性包括：具有较高的人文素养和科学素养；有坚定的意志、坚韧的毅力、足够的耐心等；科研方法科学高效；他们的论文（著）是思想和论述的完美结合．他们的教育观点主要有激发兴趣、人格教育和学术影响、学数学家、以教促研和专业不要分得过早过细等．可以通过培养兴趣和能力、引导学习和科研、指导论文、教研相长和专业及课程5个方面的途径来培养数学拔尖创新人才．

科研共性；教育观点；菲尔兹奖；沃尔夫数学奖；数学拔尖创新人才

菲尔兹奖（Fields Medal）是据加拿大数学家菲尔兹（John Charles Fields）提议设立的，于1936年首次颁发．菲尔兹奖是由国际数学联盟（International Mathematical Union）主持评定，并在4年一次的国际数学家大会（International Congress of Mathematicians）上隆重颁发的国际性数学奖，每次颁给2～4名有卓越贡献的年轻数学家．菲尔兹奖评委由国际数学联盟执委会挑选，一般由国际数学联盟主席担任评委会主席．获奖者能代表数学某个领域，在获奖年元旦未满40岁【怀尔斯（Andrew Wiles）在45岁时获菲尔兹特别贡献奖，是迄今为止唯一在40岁以上荣获此奖的数学家】，每人将得到1.5万加元的奖金和金质奖章一枚．截止2020年，共有2位华裔数学家获得过菲尔兹奖，分别是1982年获奖的丘成桐和2006年获奖的陶哲轩．沃尔夫数学奖（Wolf Prize in Mathematics）是沃尔夫奖（Wolf Prize）的一个奖项．1976年1月1日，沃尔夫（Ricardo Wolf）及其家族捐献1 000万美元成立沃尔夫基金会（The Wolf Foundation），其宗旨是促进全世界科学、艺术的发展．基金会的理事会主席由以色列政府官员担任，评奖委员会由世界著名科学家组成．沃尔夫基金会设有数学、物理、化学、医学、农业5个奖（1981年又增设艺术奖），1978年开始颁发，颁给那些为人类利益以及各民族间的友好关系做出贡献的杰出科学家和艺术家，而不考虑他们的国籍、种族、肤色、宗教信仰、性别和政治立场．通常每年颁发一次，每个奖项的奖金为10万美元，可以由几人分得．截止2020年，获得沃尔夫数学奖的华人数学家也有2位，分别是1984年获奖的陈省身和2010年获奖的丘成桐．

菲尔兹奖和沃尔夫数学奖被共同誉为数学界的最高荣誉，也都被誉为“数学界的诺贝尔奖（Nobel Prize）”．菲尔兹奖表彰40岁以下数学家的突出成就，而沃尔夫数学奖是数学家的终身贡献奖，因此菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主无疑是数学拔尖创新人才的杰出代表．截止到2020年，共有16位菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主．数学家阿贝尔（Niels Henrik Abel）认为：一个人如果要在数学上有所进步，就必须向大师学习．认真分析这些数学大师的科研共性和教育观点，可以方便数学爱好者向他们学习，促进数学拔尖创新人才的培养．

到目前为止，研究者仍然没有查到专门针对所有菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主的科研共性和教育观点进行研究的文献，更没有发现有文献在此基础上研究培养数学拔尖创新人才的有效途径．实践中，从1949年至今，中国还没有出现菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主．2017年，党的十九大报告提出：“建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，加快教育现代化，办好人民满意的教育．加快一流大学和一流学科建设，实现高等教育内涵式发展．”培养基础学科拔尖创新人才是高等教育强国建设的重大战略使命．2019年4月29日，教育部启动实施“六卓越一拔尖”计划2.0，面向所有高校、所有专业，全面实施一流专业建设“双万计划”、一流课程建设“双万计划”、建设基础学科拔尖学生培养一流基地．以此为契机，研究者首先分析16位菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主的科研共性和教育观点，然后在此基础上研究培养数学拔尖创新人才的有效途径．

1 菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主的科研共性

经认真分析，对16位菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主从以下4个方面研究其科研共性．

1.1 高水平数学家的必要条件有人文素养和科学素质

他们都有深厚的爱国之情，浓厚的兴趣、丰富的想象力、敏锐的洞察力、很好的数觉、很强的理解力、很高的审美力、勤奋的工作态度和坚实的数学基础．

他们都具有深厚的爱国热情，以阿尔福斯（Lars Valerian Ahlfors）、塞尔伯格（Atle Selberg）和丘成桐为例．1978年，在芬兰首都赫尔辛基召开的国际数学家大会上，当阿尔福斯听到雄壮而亲切的“芬兰颂”时，非常激动[1]．塞尔伯格常常满怀深情地谈论祖国挪威的自然风光、语言、文学作品等．尽管已在美国度过了六十多年，但他的心从来没有离开挪威，多次回去作学术报告．丘成桐极为关心中国数学事业的发展，在他的言谈、文章和行动中经常体现出爱国之情．1995年5月，他在中国数学会60周年年会开幕式上接受中国科学院颁发给他外籍院士证书时说：“……我也期望自己能够多多帮忙，促进国内数学的发展，因为无论在什么情形下，我还是把自己看作是中国籍人士；同时，虽然我是一个美籍人士，但数学是无国籍界限的．”[2]2004年3月，他又在“科技奖励国际论坛”上说：“中国文化博大精深，对我有很大的影响，我引以自傲的是，祖国有源远流长，迄今犹自欣欣向荣的文明．我虽然毕生研究基础科学，但亦以推广普及科学为己任，对与祖国有关的工作，尤其珍惜．”[3]数学没有国界，但数学家有祖国．每个人必须把自己的事业同祖国的前途命运联系在一起，才有更大的动力，才有可能取得更大的成功．

他们对数学都有浓厚的兴趣，以小平邦彦（Kunihiko Kodaira）、塞尔伯格、德里费尔德（Vladimir Gersho- novich Drinfeld）、塞尔（Jean-Pierre Serre）、费弗曼（Charles Louis Fefferman）、怀尔斯和诺维科夫（Sergei Petrovich Novikov）为例．在中学学习平面几何时，小平邦彦着迷于通过作辅助线来证明问题，老师称赞他是“辅助线的爱好者”．在大学三年级时，他醉心于拓扑学，写出了这方面的论文．塞尔伯格的父亲有博士学位，是高级中学的数学教师，他的两个哥哥都是数学教授，在家庭环境的感染和熏陶下，他自幼就喜欢数学．德里费尔德的父亲是数学教授，从小就教他许多数学知识，并使他对数学产生兴趣[4]．塞尔从七八岁起就喜欢数学．费弗曼最想做的事情是像所有数学家那样去证明定理．怀尔斯于2005年8月底游览故宫、天安门、天坛和北海后说：“我不愿意当皇帝，我宁肯做个数学家．”他还应邀为《中国青年报》的读者赠言：“我认为中国的年轻人工作非常努力，希望他们勇于追求自己挚爱的东西，因为对事业的投入和热爱将使他们在前进途中所向披靡．”诺维科夫有着广泛活跃的研究兴趣．兴趣是最好的老师，在一个人的学习和科研中发挥着不可替代的作用．

他们都有丰富的想象力和敏锐的洞察力，以塞尔伯格和德利涅（Pierre Deligne）为例．塞尔伯格认为：一个罕见的高水平的数学家的特征是有想象力，足智多谋，对各种关系和模式的敏感，百折不挠，有耐心，有充沛的精力，有点运气[5]．芒福德（David Bryant Mumford）和蒂茨（Jacques Tits）评价道：“德利涅有渊博的知识、大胆的想象力、强有力的技巧，以及无往不胜的洞察关键思想的本能．”[6]想象力和洞察力在数学发现中有重要的作用．

他们都有很好的数觉（数学直觉的简称），仅以小平邦彦为例．小平邦彦认为，要理解数学，不靠数觉便一事无成．没有数觉的人不懂数学，就像五音不全的人不懂音乐一样[7]．数觉可以帮助人们理解数学和解决数学问题．

他们对数学都有很强的理解力，以斯梅尔（Stephen Smale）和小平邦彦为例．斯梅尔认为，对数学的理解不是来自于读甚或听，而是来自对于所看到或听到的知识进行再思考，只有按照自己的术语重新组织了数学时，才感觉理解了它，否则决不认为理解了数学[8]．小平邦彦也认为，数学的证明不只是论证，还有思考实验的意思．所谓理解证明，也不是确认论证中没有错误，而是自己尝试重新修改思考实验[7]．数学理解力对学习数学和研究数学的人都至关重要．

他们对数学都有很高的审美力，仅以塞尔伯格为例．塞尔伯格认为，在数学中，美学的考虑，漂亮、简洁、别致等是与其真理性一样重要的[9]．数学审美力决定着一个人的数学品味，也影响着一个人对数学的兴趣．

他们都有勤奋的工作态度，仅以汤普森（John Griggs Thompson）为例．汤普森非常勤奋刻苦，他的工作习惯是每天至少工作10小时．勤奋的工作态度是工作取得成功所必需的和最重要的．实际上，一个取得成功的人往往是个勤奋的人．

他们都有坚实的数学基础，以阿尔福斯、诺维科夫和芒福德为例．阿尔福斯在赫尔辛基大学学习期间，受到芬兰现代数学奠基者林德勒夫（Ernst Leonard Lindelöf）和奈旺林纳（Rolf Herman Nevanlinna）的教导，阅读了许多名著，打下了坚实的数学基础．诺维科夫也有深厚的数学功底．芒福德以其睿智和数学功底在计算机视觉领域做出了原创性和奠基性的贡献．万丈高楼平地起，坚实的数学基础对于在数学方面和数学应用方面取得成功尤为重要．

1.2 高水平数学家的个性特征

他们都有坚定的意志，坚韧的毅力，足够的耐心等个性特征．下面以怀尔斯、诺维科夫和费弗曼为例．怀尔斯证明费马猜想用了将近7年，诺维科夫为了将当代几何与拓扑学转化为理论物理学家们能够接受的形式，花了至少5年来专门学习物理学．费弗曼思索有些（数学）问题会用几年或几十年，他花了很多年研究关于原子的数学问题，最终将这个问题归结为对系统能量的估计[10-12]．

可见，坚定的意志、坚韧的毅力、足够的耐心等个性特征是高水平数学家取得成功必不可少的特质．世上没有一项伟大成果的取得是轻而易举的，都必须克服许多困难，付出很多努力．只有具备坚定的意志、坚韧的毅力、足够的耐心等个性特征，才可能成为拔尖创新人才．

1.3 高水平数学家的科研方法

他们全面了解数学的主要领域，研究领域广而深，注重各数学分支之间以及数学与其它学科之间的联系，利用不同方向甚至不同领域的工具集中解决难题，重视数学成果在其它学科领域的应用，预测数学发展的趋势，选择有意义的研究问题，先整理、总结一个新分支的已知结果，再向它进军，提出猜想和问题，向大科学家学习并跟他们交流与合作等．下面依次举例说明．

小平邦彦认为，要研究数学，首先必须全面地、大概地了解数学的主要领域[7]．德利涅的研究领域非常广泛和深入．德里费尔德的导师马宁（Yuri Manin）说：“我希望我已让你们对德里费尔德工作的广度、概念的丰度、技巧的力度以及工作的优美有所了解……”[13]

德利涅认为，数学虽然有很多分支，不同分支对问题的处理方式可能不同，但本质上是一样的，而且各数学分支之间有着必然的联系．费弗曼把实分析与复分析方法进行和谐融合．德里费尔德认为，按纯粹数学发展过来的与按数学物理发展过来的知识，两者之间有很深的关系[4]．丘成桐是一位具有分析学家气质的几何学家，具有高超的分析技巧，用一种根本性的全新方法将偏微分方程、几何和数学物理结合起来，塑造了几何分析领域．马尔古利斯（Grigory Margulis）善于利用不同数学分支甚至不同领域的工具来集中解决一个艰深难题．沃尔夫基金会公告称：“马尔古利斯的工作以其特别的深度、强有力的技巧、数学不同领域中思想、方法的创造性集成以及其最终形式结构上的完全协调为其特点．虽然他专注于研究那些深刻的未解决的问题……”[14]米尔诺（John Willard Milnor）善于利用拓扑学等的方法和结果解决其它领域的问题，他曾利用拓扑学的结果解决代数和几何学中的经典问题，证明实数域上的可除代数只有实数域、复数域、四元数体和凯莱代数等．

诺维科夫注重抽象的数学成果在其它学科领域中的应用，也从事应用数学的研究．

阿尔福斯的研究方法是从过去看未来[15]．因为人们的数学思想不会发生突变，数学也会像过去一样继续发展．丘成桐认为，非线性现象是21世纪的研究对象，对计算机算法的认识将会导致深刻数学理论的产生，数学的统一是现代数学的趋势[16-18]．怀尔斯选择证明大难题费马猜想，在试图证明费马猜想的不断努力中，近代数论的许多内容被创建．他的证明被誉为20世纪最伟大的成就之一．

米尔诺总是先整理、总结一个新分支的已知结果，有时还写成系统的讲义作为入门，然后再向它进军．

丘成桐说：“……许多猜想的提出是试图知道正确的方向是什么样的……我们不能只解决别人提出的问题．我们必须创设我们自己的问题．只有这样，我们才能发展出一般理论……”[19]塞尔认为论文应该含有更多的注记、未解决的问题等，这常常比精确证明了的定理更使人感兴趣[20]．

丘成桐深信与伟大科学家相识相知是年轻才俊跻身一流的重要保证．他只要有机会，总是尽可能去听第一流科学家的演讲[21]．质朴的汤普森为人谦逊，乐于并善于与人合作，数学家们都愿意跟他交往．芒福德和蒂茨这样评价德利涅：“……他为人自信而谦逊，有能力并愿意和任何人讨论任何数学问题．在讨论中，他的提问与意见总是使人获益匪浅．他喜欢与别人交谈，认为交谈是获取知识的重要途径．他的成果中，有不少都是与他人合作研究完成的．”[6]芒福德指出恢复纯粹数学家与应用数学家之间的思想交流是一个非常重要的问题[22]．

科学高效的科研方法在科研中有事半功倍的效果．要成为拔尖创新人才，必须掌握并运用科学高效的科研方法．

1.4 高水平数学家的论文（著）的特点

他们的论文（著）的特点都有独创、深刻的思想和精美、简明、清晰、富于启发性的论述，下面以塞尔、塞尔伯格、德利涅和米尔诺为例．塞尔的论著是思想的独创性和论述的清晰性的完美结合．他的论文极富启发性和刺激力，反映出他深邃的洞察力．深刻、精美以及方法的简练是塞尔伯格的风格和标志．他追求数学论证的简捷、明快和富于启发性[23]．德利涅指出，数学有非常简单的特点，好的数学问题应该是用简单的语言就能够表述的问题．芒福德和蒂茨这样认为：德利涅的论著中很少有多余的字句，几乎每句话都是必要的，想法简单而清楚[6]．米尔诺的著作写得简明、清晰，是精确性和非形式化相结合的典范，读起来是一种享受．

独创、深刻的思想是论文（著）的灵魂，精美、简明、清晰、富于启发性的论述有利于内容的准确表达和广泛传播．

2 菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主的教育观点

经仔细分析，对16位菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主将从以下5点研究其教育观点．

2.1 激发学生的兴趣 帮助坚持搞数学的学生

他们都认为应该激发学生的兴趣，帮助坚持搞数学的学生．例如，塞尔伯格认为中学数学的内容应该增加一些涉及如何发现并令人振奋的内容，也认为公共图书馆应藏有相当数量的数学书籍，以便帮助那些希望在学校课程之外找到什么新东西的人，使他们产生兴趣[9]．费弗曼教书非常认真，能把非常复杂的思想用非常简单的语言表述出来．塞尔讲课富有启发性而且极其清楚明白[24]．他认为，如果人们坚持要搞数学，就应该实实在在地鼓励并帮助他们[20]．

兴趣是推动人们求知的一种内在力量．激发学生的兴趣对于他们将来走上科研之路很重要，帮助坚持搞数学的学生可以让喜欢数学的学生脱颖而出，成为数学拔尖创新人才．

2.2 加强对学生的人格教育和学术影响

他们都认为应该通过通识教育和言传身教，加强对学生的人格教育和学术影响．例如，丘成桐在北师大附中发表的一次演讲中谈到：“美国的中学注重通才教育，数学以外的学科，例如文学、物理学、哲学，都会刺激学生的思考能力，值得鼓励．”他认为，数学是人文科学和自然科学的桥梁．他说：“不少伟大的数学家，以文学、音乐来培养自己的气质，与古人神交，直追数学的本源，来达到高超的意境．”[25]汤普森每天至少工作10小时，非常勤奋刻苦，这一点深深地影响着他的学生．丘成桐说过，人格教育和专业教育必须并重，才能够成就一个伟大的民族[3]．美国华盛顿大学数学教授克兰茨（Steven George Krantz）曾评论道：“对他的学生及世界各处向他学习的同行来说，阿尔福斯确是他们的楷模和良师．”[26]

可见，人格教育要和专业教育并重，教师要用自己的人格魅力和做学问的态度在潜移默化中影响学生．

2.3 教给学生怎样做一个数学家和寻求重大成就的知识

他们都认为应该教给学生怎样做一个数学家和怎样寻求重大成就的知识．例如，阿尔福斯教学生很多关于怎样做一个数学家和怎样寻求有质量的成就的知识[26]．塞尔认为，对于中学生，关键是要让他们明白数学是活生生的，有很多尚未解决的问题．讲授数学的传统方法有个缺陷，就是教师从来不提这类问题[20]．丘成桐说：“大部分中国的高中已经不再教平面几何了．也许他们正在借鉴美国改革者的做法．然而，这会造成对理论科学有兴趣的人数下降，也可能造成逻辑教学的减少．”[27]德里费尔德认为现代教育的危险点之一就是，在对19世纪谁都知道的非常古典的事实没有任何经验的情况下，便开始学习同调代数这样的知识[4]．芒福德坚信数学教育应当进行十分严肃的努力，从思想上重视实际应用[22]．他也认为：“统计学是中学课程中应当增设的一门十分重要的科目，因为中学生常犯有许多数值判断方面的错误，如果在中学里引进这门课，他们将得到更好的训练．”[22]米尔诺认为，一个研究生发展出一种数学理论来改变人们思考社会科学的方式是最自然不过的事[28]．

怎样做一个数学家和怎样寻求重大成就应该是每一位立志从事数学研究的工作者应该熟知其答案的重要问题，对于数学拔尖创新人才尤其如此．

2.4 适当教学是科研不可缺少的部分

他们都认为教学可以调节、促进科研，适当教学是科研不可缺少的部分．例如，费弗曼在做研究停滞不前时，一想到他正在做一些有用的事情可以陪伴他的大一新生度过一段不那么痛苦的时光，就很知足[10]．丘成桐认为，教学不只可以支持研究，而且在与年轻人相处的过程中往往也能迸发出新的想法[29]．他也认为适当教学是研究不可缺少的部分[29]．

适当教学会对科研起到积极的推动和促进作用．在全身心投入的教学过程中，在激烈的讨论交流中，好而新的思想往往更容易被激发．

2.5 专业不要分得过细过早

他们都认为专业不要分得过细过早，课程不要设置得太专．例如，赫尔曼德尔（Lars Valter Hörmander）于1982年来长春参加第三届微分几何和微分方程国际会议，会后指出：专业不要分得过细、过早，学习偏微分方程的青年人应该在代数、拓扑等方面有一个坚实的基础，不然是不会有太大发展的．芒福德认为必须避免课程越来越专门化的强烈倾向[22]．

专业分得太细太早不利于学生打下一个宽广而坚实的基础，会影响到他们长远的发展．课程设置得太专门化不利于把整个数学知识体系作为一个有机的系统，会影响到学生掌握知识的广度和应用知识的灵活性．

3 数学拔尖创新人才的培养途径

在以上两部分研究的基础上，得到培养数学拔尖创新人才的有效途径．

3.1 培养学生的人文素养和科学素质

通过通识教育和言传身教，培养学生深厚的爱国之情、健全的人格，浓厚的兴趣、丰富的想象力、敏锐的洞察力、很好的数觉、很强的理解力、很高的审美力，坚定的意志、坚韧的毅力、足够的耐心、勤奋的学习态度、坚实的数学基础．高校应该实施全面的通识教育，构建以培养“全面发展的人”为核心的通识教育平台．通识教育是在对人与社会本质的认识基础上提出的一种教育思想和体系、培养理念和模式，是指大学生均应通过对人文科学、社会科学和自然科学中一些共同课程的学习，接受有关共同内容的教育，使学生用不同的理解模式来认识现象、获得知识，以便开拓学生的视野，了解与人生、社会相关的原则、知识和方法，具有适应社会的能力．在高等教育领域中的通识教育目标就是要使受教育者不仅能够获得一技之长，而且具备一个健全的职业人和社会人所必须具备的足够的文化、生活常识及正确的道德观和价值观．通识教育是培养大学生综合素质和创新思维的重要载体．通过在数学教育中渗透通识教育理念，培养学生深厚的爱国之情、健全的人格，增强学生追求真理、献身科学的意志和决心，从而加强对学生的情感、态度、价值观与文化素质的培养．教师要通过言传特别是身教加强对学生的人格教育和学术影响．要用自己的人格魅力感染学生，要把自己在数学前沿积极探索的热情等展现给学生．

教师要通过调整教学内容，改进教学方法，帮助坚持搞数学的学生等途径来培养学生对数学浓厚的兴趣．具体来讲，教师要在数学教学中适当地融入数学前沿的观点、思想和方法，针对授课对象调整教学内容，删掉现实中较少用到的内容和比较陈旧的习题，增加一些当代经济、科技和社会发展所需要的内容．要通过“本原教学法”、抽象思维和形象思维相结合，使抽象内容形象化、直观化．数学是一门较抽象化、形式化的课程，它的很多概念、定理等都经过高度的概括和抽象，学生在学习中困难较大．因此教师要实施“本原教学法”：在讲解数学的概念、公式、定理、方法时，要从它们的源头出发，先把它们的引入动机、背景知识和形成过程清楚地展现给学生，再抽象化、直观化，并且要遵循由浅入深、由表及里、由分到合的认识规律．要把抽象思维和形象思维结合起来，通过在抽象的概念、定理等中加入形象思维的元素，多用现实生活中生动鲜活的例子，使学生更加深刻地理解并能灵活应用抽象的内容，并试着把多门数学知识融会贯通、综合运用，让学生在学习数学的过程中不再觉得枯燥和深奥．要通过介绍优秀的数学文化和哲学促使学生自觉地接受熏陶．教师要促使学生自觉地接受优秀数学文化和哲学的熏陶．要让学生领悟到，教材上的定义、定理、公式等不是凭空产生的，它们背后往往都有一段关于数学家和数学发现的故事；教材上系统完整、逻辑严密、准确无误的知识并不是开始就有的，在数学发展的历史中，它们也曾经离散凌乱、前后矛盾甚至出现错误；数学来源于现实世界也应用到现实世界．在教学过程中，教师可以通过介绍数学思想的起源和背景，帮助学生了解数学思想的形成过程；通过介绍数学家的奇闻轶事，增添数学课的趣味性，激发学生的兴趣和好奇心；通过介绍数学在当今高新技术中的应用及与其它学科、领域的联系，体现数学之用；通过介绍相关的数学哲学，引导学生怎样形成假设，进行论证并形成属于自己的见解．要实实在在地鼓励并帮助坚持搞数学的学生．教师要培养一批喜欢数学而肯用功的本科生，让他们愿意继续努力；要重点培养一些研究生，让他们能够快速成长．教师要培养学生丰富的想象力和敏锐的洞察力．数学想象力是创新数学思维的一种能力，是数学创造力的源泉．提出数学猜想和数学问题都需要数学想象力．通过精心创设情境，积极启发和引导，联系生活实际等具体的途径，可以培养学生丰富的想象力．数学洞察力是从理性角度帮数学研究者走近真理，质疑现成数学结论，推进数学思想深度发展的一种能力．在某种意义上，洞察力是对现成答案和现有结论的质疑能力．通过充分解放思想，对数学理论和问题独立思考这些具体的途径，可以培养学生敏锐的洞察力．教师要培养学生很好的数觉，很强的数学理解力和很高的数学审美力．数觉是指运用经验观察、知识组块和形象直感对当前问题进行敏锐的分析，并能迅速发现解决问题的方向或途径的思维形式．通过引导学生形成自己的数学知识体系并灵活运用数学思想方法，鼓励学生进行数学猜想，激发学生对数学美的追求，提示学生注重数形结合能力和数学语言的直观性，留给学生运用数觉的时间和空间等具体的策略，可以培养学生很好的数觉．数学理解力是从多角度、多维度对待数学理论和数学家的智力和能力．通过引导学生对所看到或听到的知识进行再思考并按照自己的术语重新组织，尝试重新修改思考实验等具体的方法，可以培养学生很强的数学理解力．数学美是一种与真、善紧密联系的，人的自由创造的本质力量通过数学思维以宜人的形式在数学理论中呈现．通过引导学生提高美学、艺术修养，有意识地把与教学内容有联系的美的因素引入课堂教学，产生对教育事业、数学和学生的真挚热爱之情，引导学生积极投身于数学的创造实践等具体的途径，可以培养学生很高的数学审美力．

教师要引导学生在学习、科研实践中锻炼坚定的意志，坚韧的毅力和足够的耐心．爱迪生曾说过：“伟大人物最明显的标志，就是他坚强的意志，不管环境变幻到什么地步，他的初衷与希望仍不会有丝毫的改变，而终于克服困难，达到预期的目的．”要引导学生直面挫折，迎难而上，在经历足够的困难和挫折后，磨练出坚定的意志．学习和科研都忌讳浮躁和急功近利，要引导学生在实践中培养坚韧的毅力和足够的耐心．教师要用言传特别是身教来培养学生勤奋的学习态度．要让学生相信，始终坚持以勤奋刻苦的态度来对待学习和科研，必然会有所收获．教师要引导学生循序渐进地打下坚实的数学基础．万丈高楼平地起，数学尤其如此．只有经过漫长积累的过程，循序渐进地打好数学基础，才有可能厚积薄发，培养出数学拔尖创新人才．具体来说，要以大学本科毕业生应具备的专业知识作为基础中的基础，在以后的专业研究中逐步扩大基础．

3.2 引导学生学会学习和做好科研

引导学生全面了解数学的主要领域、加深并拓宽研究领域，注意数学各分支之间以及数学与其它学科之间的联系，利用不同方向甚至不同领域的工具集中解决难题，重视数学成果在其它学科领域的应用，预测数学发展的趋势．学习怎样做一个数学家和怎样寻求重大成就的知识，选择有意义的研究问题，先整理、总结一个新分支的已知结果再向它进军，引导学生提出猜想和问题，向大科学家学习并跟他们交流与合作等．数学教育的目的是为了引导和启发学生自我发展．引导、启发学生学会学习和做好科研对于培养数学拔尖创新人才非常重要．

教师要引导学生全面了解数学的主要领域、加深并拓宽自己的研究领域．要研究数学，首先要全面地、大概地了解数学的主要领域，知道自己研究领域所处的位置和与其它领域的关系．要引导学生争取机会逐渐加深并扩大自己的研究领域．每位研究者都应该有自己的研究阵地，稳固阵地之后再逐渐扩大．

教师要引导学生注意数学各分支之间以及数学与其它学科之间的联系、利用不同方向甚至不同领域的工具集中解决难题．当前数学各分支之间、数学与其它学科之间的相互联系越来越紧密，数学整体的容量、深度和复杂性，使得寻找沟通不同分支之间的新方法更为迫切和重要．数学中许多重要的工作是在子领域之间、领域之间以及学科之间的边缘上做出的．要引导学生将数学甚至一切自然科学作为统一的有机整体去理解，注意数学学科内外的联系．爱尔迪希（Paul Erdös）就总想将世界上的事物都与数学联系．不同方向甚至不同领域中多种思想的互相渗透是数学发展的关键．21世纪人类面对的大问题，要求科学家们必须在多学科互动中解决．要引导学生利用渗透到不同方向甚至不同领域的思想、方法和工具，集中解决关键科学问题．

教师要引导学生重视数学成果在其它学科领域的应用．数学成果的应用多种多样，从理论上讲，数学思维可以应用到任何知识领域，数学方法的应用范围也没有边际．

教师要引导学生预测数学发展的趋势、学习怎样做一个数学家和怎样寻求重大成就的知识、选择有意义的研究问题．要引导学生从数学的过去看未来的发展，关注多样化、复杂化、专门化、综合化、统一化等这些数学发展的途径，注重非线性现象和计算机算法等．教师要通过研究性教学模式引导学生学习数学家做学问的方式．研究性教学模式是培养学生创新能力，进而培养拔尖创新人才的重要手段．教育部《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》中提出“要积极推进研究性教学，提高大学生的创新能力”．在教学中，要引导学生模拟并学习数学家做数学的方式，还原数学研究及应用的过程，使学生像当年的数学大家们一样，体验在一片黑暗中摸索前进，体验知识的产生和使用的过程．一个好的选题相当于成功了一半．要引导学生选择最有意义、最有价值、最感兴趣且能研究的问题．

教师要引导学生先整理、总结一个新分支的已知结果再向它进军．一方面要引导学生精读新分支的经典文献，另一方面要提醒学生关注最新出现的思想、方法和工具．引导学生努力做到对新分支的现有理论彻底了解，对其中的核心问题深刻估量，一步步完成研究任务．具体地说，要引导学生阅读新分支方面的大量相关文献，并研读其中重要的文献，思考基本问题，整理、总结已知结果，对于文献中的主要概念和关键方法，尽力寻找它们互相渗透时逐步发展的线索；让学生尽量弄清楚某些特殊情形，增加关于这些情形的详细知识；让学生首先构思一些简单但基本的、直指问题本质的想法，然后用强有力的工具发展这些想法，最后用成熟的想法去努力探索所考虑问题的本质．

教师要引导学生提出猜想和问题．波利亚（George Polya）指出：“对于正积极搞研究的数学家来说，数学也许往往像是猜想游戏：在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须先猜想出证明的主导思想．”[30]在数学史上，创造性的发现往往要经历“猜测—不断试证—不断纠错—确证真理”的过程，杰出的数学家大都有类似的经历．法国大数学家阿达玛（Jacques Hadamard）指出：“在数学中，我们不怕错误，实际上错误是经常发生的……”[31]数学史的启示是：大数学家们出的错通常要比一般人多，但他们总是在不断地加以改正，所以在最后的结果中那些错误的痕迹已没有了．教师要鼓励学生去积极尝试，不怕出错，通过不断地纠错去体会真正的数学研究．科学地提出问题是科学发现的重要组成部分，需要洞察力和创造力．在数学中，提出问题比解答问题更为重要．学生一旦提出了问题，其注意力会更集中，主动性会更强烈．在教学中应坚持从问题出发，注重培养学生提出问题的能力．要从不同学科的渗透中对某一知识进行全方位、多角度地分析，设法让学生提出有意义的问题．

教师要引导学生向大科学家学习并跟他们交流与合作．将学生的自然想法与大科学家的思想联系起来的最可靠的办法是进行真正的交流与合作．要引导学生向大科学家学习，并跟他们进行深入地交流与持续地合作．这种学习、交流和合作可能开启某些新的发现．

3.3 指导学生写好论文（著）

指导学生写出既有独创、深刻的思想，又有精美、简明、清晰、富于启发性的论文（著）．有独创、深刻的思想是拔尖创新人才的主要特征之一．既有独创、深刻的思想，又有精美、简明、清晰、富于启发性的论述更有利于传播思想和产生影响．

3.4 教研相长

坚持教学科研并举，实现教研相长．教学与科研既存在矛盾又相互促进，是对立统一的．教学是教师的天职，是科研的必要条件，但做好教学的同时必须做好科研．因为科学发展极其迅速，只有坚持进行科研的人，才能真正理解创新精神，培养具有创新精神的人．一般地，做科研的人对数学中一些基本概念的认识要比不做科研的人深刻，因为他有自己的观点，而且有一些新的发展，因此能讲得更深刻．同时，教师从事科研活动可以扩大眼界，了解他所从事专业领域的发展状况及其发展中存在的问题，对这些问题有无解决的办法，如何解决等，这样可丰富该专业、学科的内容，使之不断向前发展．另外，教师在从事科研活动时，他们的科研方法、创新精神和人格魅力都会给学生以潜移默化的影响，促进学生的全面发展．实践也证明教师进行科研是提高教学质量的可靠保证．

3.5 专业不要分得过早过细 课程不要设置得太专

一方面，各个专业的知识、各种领域的课程能够培养学生从不同专业、领域中去寻求思想和方法的能力，这种能力对于学生将来取得突破性进展是至关重要的；另一方面，现代数学的趋势之一是统一，专业不分得太早太细，课程不太专门化，都顺应了这一趋势．

[1] AHLFORS L V．拟共形映照：Teichnuller空间和Klein群[J]．陈怀惠，译．数学译林，1980（2）：1–11．

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[10] COOK M．当代大数学家画传[M]．林开亮，译．上海：上海科学技术出版社，2015，290–291，190．

[11] NOVIKOV S．可积模型在数学发展中的作用[J]．邹建成，译．数学译林，1994，13（1）：1–4．

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[29] 丘成桐．中国高等教育[M] // 丘成桐，杨乐，季理真．数学与人文（第一辑）．北京：高等教育出版社，2010：248–266．

[30] POLYA G．数学与猜想：合情推理模式[M]．李心灿，王日爽，李志尧，译．北京：科学出版社，2001：177．

[31] JHADAMARD．数学领域中的发明心理学[M]．陈植荫，肖奚安，译．大连：大连理工大学出版社，2008：51．

Analyzing Scientific Research Commonalities and Education Viewpoints of Winners of both the Fields Medalists and Wolf Prize Winners

HAO Shun-li

(Department of Basic Sciences, Beijing International Studies University, Beijing 100024, China)

Winners of both the Fields Medal and Wolf Prize in Mathematics represent the most excellent, innovative talents in mathematics. By analyzing scientific research commonalities and education viewpoints of the 16 winners of both the Fields Medal and Wolf Prize in Mathematics, it was found that their scientific research commonalities mainly include three aspects: necessary conditions, personality characteristics and scientific research methods of high-level mathematicians, and characteristics of their papers or works. Their education viewpoints comprise five aspects: stimulating interest, personality education and academic influence, learning from mathematicians, promoting research through teaching, and specialties and courses. From this, top-notch innovative talents in mathematics can be cultivated by teachers and schools through the following five ways: cultivating the students’ interest and ability, guiding their learning, fostering research and paper writing, improving teachers’ teaching and research proficiency, and implementing reasonable course planning and specialties. From this, we can cultivate top-notch innovative talents in mathematics through five ways: cultivating interest and ability, guiding learning and scientific research, guiding the writing of papers, teaching and research, and specialization and curriculum.

scientific research commonalities; education viewpoints; Fields Medal; Wolf Prize in Mathematics; top-notch innovative talents in mathematics

G632.4

A

1004–9894（2021）06–0085–07

郝顺利．菲尔兹奖兼沃尔夫数学奖得主的科研共性和教育观点分析[J]．数学教育学报，2021，30（6）：85-91．

2021–07–30

2016年度国家自然科学基金青年基金项目——多型分枝随机游动在依时随机环境中的渐近性质（11601019）

郝顺利（1980—），男，山西忻州人，副教授，博士，主要从事大学数学的教育教学、鞅极限理论研究．

[责任编校：陈汉君、陈隽]