多个不确定分数阶混沌系统的组合同步

司 辉, 郑永爱

(扬州大学信息工程学院, 江苏 扬州 225127)

分数阶微积分已有300多年的历史, 但直到近几十年分数阶微积分才广泛应用于物理工程,生物工程和电磁波等．与整数阶微积分相比,分数阶微积分更能准确地描述非线性系统．人们发现许多由分数阶微分方程描述的非线性系统会呈现混沌和超混沌状态, 如分数阶超混沌Chen系统[1]、分数阶Liu系统[2]、分数阶Rossler系统[3]、分数阶Lorenz系统[4]、分数阶Chua电路[5]和分数阶Lü系统[6]等．随着对分数阶混沌系统的深入研究, 人们发现混沌系统同步在保密通信和金融系统等领域有广阔的应用前景,而一些分数阶混沌系统的同步方式也相继被提出,如完全同步[7]、投影同步[8]、广义同步[9]、反相同步[10]和延迟同步[11]等．

多个混沌系统的同步近年来也被人们所关注,一般有单个驱动系统与多个响应系统的同步和多个驱动系统与单个响应系统的同步两种模式．Chen等[12-13]研究了多个混沌系统的投影同步,设计了相应的控制器来实现单个驱动系统与多个响应系统的投影同步．组合同步是多个混沌系统同步方式中的一种典型同步方式,可以增加系统同步的复杂性,增强通信的保密性．Khan等[14]利用李雅普诺夫稳定性理论,从超混沌复系统的误差状态渐近稳定出发,导出了自适应控制律和参数更新律,实现了超混沌复系统的组合-组合投影同步,但未考虑混沌系统中可能存在的外部干扰;方洁等[15]应用李雅普诺夫稳定性理论和滑模控制方法,设计了相应的滑模面和控制器,实现了两个驱动系统与多个响应系统的组合函数投影同步,但系统中未考虑不确定项且存在的扰动上界是已知的．目前,现有的多个混沌系统的组合同步多应用于整数阶混沌系统中,对分数阶多个混沌系统组合同步尚未见报道．本文拟讨论含有不确定项和外部扰动的多个分数阶驱动系统和单个分数阶响应系统的组合同步,利用分数阶Barbalat引理和李雅普诺夫理论,设计一类新型的分数阶自适应滑模控制器,并通过理论证明和数值仿真验证所设计的自适应滑模控制器的可行性和有效性．

1 预备知识

1) 当且仅当对矩阵A的任意特征值|arg(eig(A))|>απ/2恒成立,系统是渐近稳定的;

2) 当且仅当对矩阵A的任意特征值|arg(eig(A))|≥απ/2恒成立,系统是稳定的．

引理4若‖·‖1和‖·‖分别为Rn上的1-范数和2-范数, 则存在正常数ε和ε′使得ε‖x‖≤‖x‖1≤ε′‖x‖,∀x∈Rn．

2 系统描述

基于自适应滑模控制,本文设计含有不确定项和外部扰动的多个分数阶混沌系统的组合同步,且该组合同步由N-1个分数阶混沌驱动系统和单个分数阶混沌响应系统组成．N-1个分数阶混沌驱动系统为

(1)

其中xj(t)=[xj1(t),xj2(t),…,xjn(t)]T是驱动系统(1)的状态变量,fj(xj(t))=[fj1(xj(t)),fj2(xj(t)),…,fjn(xj(t))]T为连续非线性函数, Δfj(xj(t))=[Δfj1(xj(t)),Δfj2(xj(t)),…,Δfjn(xj(t))]T为驱动系统(1)的不确定项,mj(t)=[mj1(t),mj2(t),…,mjn(t)]T为驱动系统(1)的外部扰动．而单个受控分数阶响应系统可以描述为

(2)

其中xN(t)=[xN1(t),xN2(t),…,xNn(t)]T为分数阶响应系统(2)的状态变量,fN(xN(t))=[fN1(xN(t)),fN2(xN(t)),…,fNn(xN(t))]T为分数阶响应系统的非线性连续函数, ΔfN(xN(t))=[ΔfN1(xN(t)), ΔfN2(xN(t)),…,ΔfNn(xN(t))]T为分数阶响应系统(2)的不确定项,mN(t)=[mN1(t),mN2(t),…,mNn(t)]T为分数阶响应系统(2)的外部干扰,U(t)=[u1(t),u2(t),…,un(t)]T为待设计的控制器．

根据系统(1)和(2), 不确定多分数阶系统可以重写为以下N-1个驱动系统

(3)

和一个受控响应系统

(4)

定义1根据系统(3)和(4), 定义同步误差e(t)=xN(t)-xN-1(t)-…-x1(t), 其中e(t)=[e1(t),e2(t),…,en(t)]．若对任意初始值xN(0)和xj(0), 满足limt→∞‖e(t)‖=0, 则称多个分数阶驱动系统(3)与单个分数阶响应系统(4)实现组合同步．

根据系统(3)和(4), 误差系统可表示为

(5)

显然, 系统(3)和系统(4)组合同步的问题可转化为当t→∞时误差系统(5)的零解稳定性问题．

3 自适应滑模控制器设计

3.1 滑模面设计

设计如下的分数阶积分滑模面:

(6)

当系统发生滑模运动时, 滑模面满足:

(7)

3.2 控制器设计

假设1假设系统(1)和(2)中的不确定项Δfji(xj(t))和外部干扰mji(t)都有界, 即

|ΔfNi(xj(t))-Δf(N-1)i(xj(t))-…-Δf1i(x1(t))|≤ai,
|mNi(t)-m(N-1)i(t)-…-m1i(t)|≤bi,

(8)

其中ai>0,bi>0为未知有界常数．

要使误差系统轨迹到达滑模面并且稳定在滑模面上, 须设计一个控制器ui(t)来实现, 故设计控制器为

(9)

其中ki>0为滑模控制器的控制增益．

自适应律为

(10)

定理1对于误差系统(5), 根据所设计的控制器(9)和自适应律(10),可使误差系统(5)的运动轨迹到达并稳定在滑模面上,即受控的误差系统的零解是渐近稳定的,从而实现了多个分数阶驱动系统和单个分数阶响应系统的组合同步．

4 数值仿真

为了说明本文设计的自适应滑模控制器的有效性, 仿真研究了响应系统分别与两个驱动系统或三个驱动系统进行组合同步．

4.1 分数阶Chen、Liu和Lü系统的组合同步

考虑分数阶Chen和Liu系统为两个驱动系统, 分数阶Lü系统为响应系统．带有不确定项和外部扰动的分数阶Chen混沌系统

其中, 当a1=35,b1=27,c1=3时, 系统处于混沌状态．不确定项[Δf11(x1(t)), Δf12(x1(t)), Δf13(x1(t))]=[0.2sinx11,0.2sinx12, 0.2 sinx13], 外部扰动[m11(t),m12(t),m13(t)]=[-0.1sin(10t), -0.1sin(20t), 0.2sin(20t)]．

带有不确定项和外部扰动的分数阶Liu混沌系统:

其中, 当a2=10,b2=40,c2=2.5,d2=4时,系统处于混沌状态．不确定项[Δf21(x2(t)), Δf22(x2(t)),Δf23(x2(t))]=[0.3sinx21, 0.3sinx22, 0.3sinx23],外部干扰[m21(t),m22(t),m23(t)]=[-0.2sin(10t),-0.2sin(10t),0.4sin(20t)]．

带有不确定项和外部扰动的受控分数阶Lü混沌系统:

其中, 当a3=36,b3=20,c3=3时, 系统处于混沌状态．不确定项[Δf31(x3(t)),Δf32(x3(t)), Δf33(x3(t))]=[0.5sin πx31, 0.5sin πx32, 0.5sin πx33], 外部干扰为[m31(t),m32(t),m33(t)]=[0.3cost,0.3cost,0.3cost]．

定义同步误差为e1=x31-x21-x11,e2=x32-x22-x12,e3=x33-x23-x13,可以得到误差系统为

设计自适应滑模控制器为

图1 驱动系统与响应系统间同步的误差状态曲线Fig.1 The error state curve of synchronization between the driving system and the response system

图2 驱动系统与响应系统的状态曲线Fig.2 The state curve of the driving system and the response system

4.2 分数阶Chen、Liu、Lü和Rossler系统的组合同步

响应系统设计为带有不确定项和外部干扰的受控分数阶Rossler混沌系统

定义同步误差e1=x41-x31-x21-x11,e2=x42-x32-x22-x12,e3=x43-x33-x23-x13,得到误差系统

设计自适应滑模控制器

图3 驱动系统与响应系统间同步的误差状态曲线Fig.3 The error state curve of synchronization between the driving system and the response system

图4 驱动系统与响应系统的状态响应曲线Fig.4 The state curve of the driving system and the response system

5 结论

本文基于李雅普诺夫理论和分数阶Barbalat引理,设计了一种具有较强鲁棒性的新型分数阶自适应滑模控制器,实现了含有不确定项和外部扰动的多个分数阶混沌系统的组合同步,并对系统的未知参数和扰动进行了估计．最后通过两组分数阶多混沌系统的数值仿真,验证了所设计控制器的有效性和鲁棒性．与整数阶多混沌系统的组合同步相比,本文所研究的分数阶多混沌系统的组合同步更具有一般性,同时在保密通信中有较大的应用价值．