杨氏模量实验粗调范围的定量分析

陈 煜

（湛江幼儿师范专科学校 信息科学系，广东 湛江 524037）

杨氏模量实验调节通常分为“粗调”和“细调”两个环节[1-2]，粗调是细调的基础，粗调的目的是使望远镜与光杠杆平面镜共轴等高，使标尺的像在望远镜视场范围内。只有粗调达到要求，才能在细调中快速完成实验调节，文献[3][4][5]对杨氏模量实验中望远镜和平面反射镜的调整技巧作了探讨，文献[6]对粗调的关键步骤给出图示指引，形象直观，便于实验者理解和操作，但对光杠杆平面镜的上下倾角或者望远镜左右偏转角超出什么范围时尺像不在望远镜的视场内没有作讨论。本研究从系统成像的几何光学线路图出发，通过数学建模对光杠杆平面镜上下倾角范围和望远镜左右转角的范围这两种极限情况进行定量分析，探讨这两种极限角范围的规律，从而判断光杠杆平面镜和望远镜粗调是否使标尺的像在望远镜视场范围内。

1 光杠杆装置及主要技术参数

实验中光杠杆装置及主要技术参数如图1和表1所示，其中M为光杠杆平面镜，b为光杠杆平面镜后足尖到平面镜的距离，D为标尺到平面镜的距离，金属丝的直径为d，长度为L，在砝码的重力mg作用下，伸长量为ΔL，此时光杠杆平面镜的法线偏转了θ角，反射光线偏转2θ，望远镜中标尺的读数变化为Δn，由几何关系得

表1 YMC-1光杠杆主要技术参数Table 1 Main technical parameters of YMC-1 optical lever

图1 光杠杆装置Figure 1 Optical lever device

则金属丝的杨氏模量为

2 定量分析

由式（3）可知，公式中的D和d容易测量，而Δn的测量需要调节仪器，在望远镜中看到标尺的像才能实现。针对学生由于粗调不到位，造成光杠杆平面镜上下倾角或者望远镜左右偏转角过大，在望远镜中看不到标尺的像的情况，根据YMC-1光杠杆主要技术指标分别对这两种情况进行定量分析。

2.1 望远镜和标尺处于理想状态时的光杠杆平面镜倾角范围

实验时，光杠杆平面镜两个前足尖放在水平的凹糟中，后脚尖放在中夹紧的被测点上，所以光杠杆平面镜调节往往容易出现上下倾斜的情况，如果粗调不到位，平面镜不铅直，那么平面镜会偏离铅直方向，本研究定义逆时针方向偏转为正，顺时针方向偏转为负，相关各量如图2所示，D为平面镜到标尺的距离，当光杠杆平面镜的法线偏转了θ角，反射光线偏转2θ，望远镜中标尺的读数变化为X。

图2 光杠杆平面镜倾斜光路图Figure 2 Optical path diagram of optical lever plane mirror

由几何关系得

根据光路和粗调要求，不管θ角沿着逆时针方向增大还是沿着顺时针方向增大，它的极限值必须能让标尺的最上端的刻度值或者最下端的刻度值的像在望远镜的视场内，即θ角最大使X=24 cm，否则从望眼镜看不到标尺的像，则它倾斜角度范围为[-θ，θ]。通过公式（4），取X=24 cm，可以求出平面镜倾斜角随标尺中心到平面镜中心距离D的变化范围，如表2所示。

表2 平面镜倾斜角随D变化的范围Table 2 Variation range of the inclination angle of the plane mirror with D

表2的数据显示，在望远镜与标尺处于理想状态下，平面镜的极限倾斜角的范围随着标尺到平面镜中心的距离D增大而减小，如果光杠杆平面镜粗调不到位，就很难在望远镜中找到标尺的像。

2.2 光杠杆平面镜和标尺处于理想状态时的望远镜左右偏转角范围

理想状态下，光杠杆的平面镜的法线Ĵ与望远镜的光轴Ĥ共面平行，俯视图如图3所示，其中O′点为镜面中心，O点为标尺与望远镜的距离的中点，ε为望远镜到O点的距离，ɑ为理想状态下反射光线与平面镜法线Ĵ的夹角。

图3 理想状态下光路图Figure 3 Ideal light path diagram

由几何关系得

图4 望远镜偏转的光路图Figure4 Optical path diagram of telescope deflection

在RTΔTGS´中，由几何关系得

因为ΔTAE为等腰三角形，则

因为ΔAFE～ΔS′GE，由相似三角形对应边成比例得

把AF=D、FE=（ε-R）及式（7）、式（8）代入式（9）得

移项化简得

将sinβ和cosβ作泰勒展开，β较小，取二级近似，

代入式（11）得

令

代入式（12）化简得

令

代入式（13）得

展开为

化简合并得

令

则

因为

则方程（15）的解为

式中,

则

其中，

利用公式（17）可以计算出在R=2.6 cm、ε=5cm时望远镜左右偏转极限角随标尺中心与平面镜中心距离D变化的范围，结果如表3所示。

表3 望远镜偏转偏转角随D的变化范围Table 3 Variation range of the deflection angle of the telescope with D

从表3的数据可以看出，在标尺中心到平面镜中心距离D从80 cm增大到230 cm过程中，望远镜左右偏转极限角范围呈现减小和增大交替变化的规律特点，最大极限偏转角范围在D=220 cm 处，为[-1.067°，1.067°]，但都是非常小的，如果望远镜粗调不到位，就很难找到标尺的像。

3 结语

通过对平面镜的倾斜角和望远镜的偏转角区间范围的定量分析，可见这两个调节的极限角范围都非常小，如果粗调不到位，细调很难找到标尺的像，因此在仪器调节的教学中，强调做好粗调是非常必要的。