一道省质检试题的八种解法

蔡海涛

(福建省莆田第二中学 351131)

(1)求f(x)的极值；

(2)若exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，求正实数m的取值范围．

解(1)当a>0时，f(x)的极小值为f(a)=1-2lna，无极大值；当a<0时，f(x)的极小值为f(a)=1-2ln(-a)，无极大值．(过程略)

(2)解法1 由(1)知，当a=1时，f(x)=x-lnx在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，所以f(x)min=f(1)=1，所以x-lnx≥1，因为exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，所以ex(lnx-x)+mx2+x+m≤0，所以

所以当00,当x>1时,g′(x)<0；

因此g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减， 所以g(x)max=g(1)≤0，所以正实数m的取值范围为

所以当00，当x>1时，h′(x)<0，所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，所以h(x)max=h(1)=1，所以h(x)≤1，即所以当时，成立，即原不等式恒成立．

所以H(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，所以

由(1)知，lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立．

(ⅱ)当x>1时，由lnx≤x-1得(1-x)lnx>(1-x)(x-1)=-1+2x-x2，

又因为k′(1)=0，所以当00，当x>1时，k′(x)<0，所以k(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，所以k(x)max=k(1)=0，所以k(x)≤0，所以exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，当且仅当x=1时等号成立，所以正实数m的取值范围为

在解题教学中，教师要善于挖掘数学问题的深层本质，寻找题目条件与结论之间的逻辑关系，帮助学生准确审题、获取解题思路，通过一题多解拓展学生的思维．