数形结合在可视化数学探究中的运用初探

金建伟

[摘  要] 数形结合的思想是数学中最基本、最重要，也是最本质的思想方法之一。可视化的数学教学将以往传统的讲授式课堂向启发式课堂转变，在概念探究、量感探究、算理探究、规律探究中，教师用可视化引领思维，用可视化激活思维，用可视化交流思维，从而让数学探究活动变得“可视化”。

[关键词] 小学数学教学;可视化;数学探究;数形结合

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”这句话的意思是在数学教学中精确地抓住数与形之间本质上的联系，将“数”和“形”结合起来可以优势互补，可以用“形”直观地表达“数”，用“数”精确地研究“形”。现代数学教学研究也表明：数形结合的思想是数学中最基本、最重要，也是最本质的思想方法之一。数形结合的本质就是将抽象的数学知识（数理、算理、规律）的探究与直观的图形巧妙合二为一，以形助数、以数辅形，寻求解题思路，使数学问题从复杂变得简单、从抽象变得具体。

可视化数学学习，即在学习抽象的数学知识（数理、算理、规律）的过程中让数学的思维过程外显化，让数学算理在实践操作中摸得着，让数学思维在视觉表征中看得见。它既是理念，又是行为，学生经历着“直观地看”“形象地画”“出声地想”等方式。由此可见，数形结合是实现可视化数学学习的重要手段。在数学学习中，研究的对象是抽象化的、形式化的材料，在研究这些抽象的数学材料时，我们需要培养学生的各种数学能力（类比、分析、归纳、演绎、联想等）。可视化的数学教学将以往传统的讲授式课堂向启发式课堂转变，用可视引领思维，用可视化激活思维，用可视化交流思维，从而让数学学习变得“可视化”。

借助数形结合，促进学生的深度数学学习，提高学生的数学素养。笔者在实际教学中，进行了数学结合可视化的探究，从以下几方面进行赘述。

一、可视化的概念探究

皮亚杰研究发现，儿童在前运算阶段中认识事物以感知具体形象为主，从丰富的表象中进行概括与归纳。数学概念是数学学习的基石，从学科本质角度讲要引导学生经历概念的形成和概念的同化过程，从儿童视觉角度讲要让概念可视、可感、可摸，彰显概念建构过程中的“思维链”。因此，在小学数学的概念教学中，教师应让概念教学变得可视化，帮助学生理解概念，直至运用。

例如，教学“分数的初步认识”一课，教师用“平均分蛋糕”的实际情境作为支撑，让学生经历这样的几个概念学习过程。

首先出示“分蛋糕”的情境图，提问：“4个同样的蛋糕，平均分给2人，每人分几个？”唤醒“平均分物”的生活经验;接着设问：“同样的2个蛋糕，平均分给2人，每人分几个？如果只有1个蛋糕，平均分给2人，每人分几个？你能用合适的数分别表示平均分的结果吗？”然后，教师利用课件动态演示1个蛋糕，平均分给2人、3人、4人的情形，让学生初步感悟分数的意义，初步感知同一个蛋糕的“”“”“”究竟有多大;接着，教师用不同大小的圆片，让学生动手操作平均分成2份，体会他们所操作圆片的“”大小不同，但是都用来表示。

在这样的概念教学过程中，教师重视了“重现原型”，经历了“初建表象”，并能将“表征内化”直至“完善结构”。这样可视化的过程，让学生在概念的形成、建构的过程中，经历了概念从“具象化”到“形式化”的转变，通过横向与纵向的融会贯通，从“串联”走向“并联”，从“可见”走向“想见”，促进了学生的思维的深度发展，体现了可视化概念教学的价值。

二、可视化的量感探究

“量感”是对某种“量”的直觉或敏感度，是人们在实际中主动运用“量”的意识和能力。量感能够让人在不借助工具的情况下就能对某个量进行大小等的推断，或者能够判断某个单位表示的量与某种物体实际大小是否相符合。量感的学习在小学阶段随处可见，但是目前在小数课堂上，对量感的学习多重视结果，不重视过程，这不利于量感的形成。因此，教师在教学中应有意识地提供可视化情景，丰富学生的量感学习体验，引发学生量感学习的需要，促进他们对量感学习的思考，激发他们量感学习的潜能。

例如，在二年级的长度单位“厘米”的学习中，在学生建立了“1厘米”的表象后，教师拿出一根长5厘米的小棒，让学生不使用测量工具直接估一估这根小棒几厘米，并说出依据。教师让学生分组讨论后，再全班汇报。有学生说：“我的食指宽约1厘米，我用4根手指并排量，还多了一点点，所以我估计这根小棒大约长5厘米。”有学生说：“我是用食指的宽去量的，量了5次，我估计这根小棒长5厘米。”还有的说：“我的一拃长10厘米，这根小棒差不多是我一拃的一半，我估计是5、6厘米吧。”在学生充分交流后，教师再让学生用直尺验证刚才的估计结果。

在这个过程中，教师从学生生活出发，利用常见的数学学具——小棒，把长度单位“厘米”与实际联系起来，使教学情境可视化，让学生经历量感建立的过程。学生在解决的过程中，能够基于自身的学习习惯和运用量感的经验进行探究。学生对厘米的概念更精确了，同时丰富了学生的量感体验以及思维品质。

三、可视化的算理探究

小学生的思维处在从形象思维为主逐步向抽象思维为主过渡的过程，当然小学阶段的这种抽象思维很大程度上依赖具象。数学学习尤其是计算学习显得尤为枯燥而繁杂，教师在计算教学中运用数形结合，既是学生自身的需要，也是后续教学的需要。计算教学中运用数形结合可以帮助学生建模，让学生经历对计算法则的直观理解过程，从而将抽象的数理转变为形象的认知。

例如，一年级数学教学“20以内数的认识”一课中，认识“个位”和“十位”之间的进率关系时需要引入小棒，教师應设计大量的小棒摆放活动，以便学生理解两个数位之间的十进制关系。

1. 教师通过9根小棒添上1根就是10根，然后捆成1捆，让学生体会“1捆就是1个10，也就是10根”;2. 将这1捆放在“十位”，又认识了新的计数单位“十位”;3. 1捆添上1根，就是11根，“11”的两个“1”对应着“1捆”和“1根”，学生初步感知，同样的“1”在不同的位置上表示的多少也不同……

这个教学过程中，教师利用充分的数和形相对应，将数位形象化，帮助学生理解了算理，为后续理解“满十进一”和“退一当十”的算理打下基础。因此，在计算教学中引入数形结合，可以将无形的计算法则形象化，将抽象的数量關系具体化，有利于学生高效地学习，有利于学生兴趣的培养，有利于他们从“怕数学”变成“爱数学”。

四、可视化的规律探究

《数学课程标准（实验稿）》中指出小学数学的课程目标之一：能从一定的数学情境中发现蕴涵的规律，并在具体情境中运用，发展和培养学生的实践能力和创新精神。小学数学教材中“找规律”的教学内容在每个年级都有涉及。“规律题”即在已知条件中（或数字或图形）探索出潜在的规律，并能熟练地运用其中的规律，去解答相应的实际问题。数学教师要善于运用“数形结合”来解决此类“数学规律”的探究问题。

例如，二年级数学“厘米和米”一单元中有一道操作题：“平面上的4个点之间最多可以连多少条线段？”这个题目蕴含着深刻的数学思想，怎样让学生找到此类题的规律，并能运用呢？教师可以设计这样几个环节：1. 课始，同桌两人握手，要握几次？三个人之间每两人握一次手要握几次？小组内8人每两人握一次手，又要握几次呢？如果全班同学握手呢？学生领悟出这当中肯定有巧妙的方法，不可能一个个地去数，要从简单的入手找规律;2. 先探究有2个点时连出的总线段数，再列出3个点和4个点的情况，板书出“点数”“增加条数”和“总条数”，之后再让学生自己探究5个点和6个点时的“点数”“增加条数”和“总条数”，让学生自己发现规律;3. 利用已有的建模，推算出10个点、20个点时的线段总数;4. 找出1+2+3+4+…的计算规律;5. 回忆这节课发现的规律在平时见过的哪些问题中可以运用。

这个过程中，课始教师巧设握手的游戏，紧扣了例题，引发探究的需要，非常有效;课中在平面内点与线段数之间关系的探究中，通过课件演示和学生画图、自主探究，学生经历着从无序到有序，从杂乱到清晰，学生不再是简单的模仿者，而是真正成为知识的建构者;课尾，教师让推算10个点和20个点的线段总数时优化1+2+3+…的计算方法，接着还原生活，解决实际问题。利用“直观”进行思考，一步步地让学生体会“化难为易”的数学思想，有效地体现了数形结合的优势，从而让规律探究变得“可视化”。

总之，数形结合可以将抽象的数学思维与视觉直观的认知过程相融合，可以使学生的探究过程变得“化难为易”“化繁为简”，这不仅可以提高学生的探究兴趣，提高知识获得的流畅感，还可以提高数学能力和数学思维的品质。作为小学教师，要充分发掘并充分利用身边的素材，无论是适合的教具还是适用的软件，无论是古老的尺规还是前沿的软件图形，都是可以应用的教学资源。

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