逆向思维在小学数学教学中的应用探讨

龚成兵

[摘  要] 逆向思维作为一种独具特色的思维模式，在发展学生数学学习能力的同时能达到优化学生思维品质的作用。尝试探讨逆向思维在“图形与几何”“数与代数”“实践与综合应用”等板块中的应用，以发展学生空间观念、数感与运算能力、解决问题能力。

[关键词] 逆向思维;小学数学;应用

逆向思维又被称为“反过来思考”，其作为一种独具特色的思维模式，在数学学习中发挥了重要作用，指引学生从事物的结尾向事物发展的反向思考，在思考过程中抽象出事物发展规律，由此大大提升学生解决问题的能力，在发展学生数学学习能力的同时达到优化学生思维品质的作用。基于此，笔者尝试探讨逆向思维在小学数学教学中的应用，期望能够起到抛砖引玉的效果。

一、在“图形与几何”中巧用逆向思维，发展学生的空间观念

“图形与几何”板块是小学数学知识体系的重要组成部分，其主要包括图形的认识、图形的测量、图形的运动和图形与位置四个部分。空间观念是一个综合能力，它包括了观察能力、想象能力、抽象能力等数学能力。在教学中，教师往往关注把几何图形与现实生活联系起来，把几何图形与数学操作结合起来，却对逆向思维在“几何与图形”板块的运用缺乏足够的关注度。那么，如何在“几何与图形”教学中，巧用逆向思维发展学生的空间观念呢？

师：有两个正方形，A点是大正方形的中点，小正方形的边长是2厘米，大正方形的边长是4厘米，求图中（见图1）①和②两个图形的面积之和。

生1：所求图形是由两个三角形组成的。

生2：求三角形的面积需要知道三角形的底和高，但是现在既不知道三角形的底，又不知道三角形的高。

（学生的思维陷入停滞。）

师：既然顺着思考行不通，我们是不是可以转变思路进行逆向思考呢？

（学生讨论。）

生3：我知道了。既然不能直接求出图中①和②两个图形的面积，那么我们可以尝试求出除了①和②两个图形之外的图形的面积，这样也可以解决问题。

生4：对，除了①和②两个图形之外的图形是由两个规则的图形组成的，其中一个是三角形，另一个是梯形。

师：那么，你能试着求出三角形和梯形的面积吗？

生5：三角形的面积=底×高÷2=2×4÷2=4（cm2），梯形的面积=（上底+下底）×高÷2=（2+4）×4÷2=12（cm2），然后再求出两个正方形的面积之和是（2×2）+（4×4）=4+16=20（cm2），所以①和②两个图形的面积之和是20-12=8（cm2）。

要顺利解决这一问题，学生至少需要具备两个方面的能力：一是要具备一定的观察能力和空间想象能力，学生要能够敏锐地看出各个图形之间构成的关系，并把这种关系运用到问题解决之中。二是要具备逆向思维能力。如果本题采取“从正面突破”的策略，无疑将增加本题的难度，但只要学生巧妙地采取“迂回”的办法，通过分析两个未知大小的图形与两个规则图形的关系，先求出两个规则图形的面积，然后再反向算出未知大小的图形的面积，使得问题的解决变得更具灵活性和巧妙性。由此可见，本题从观察能力、空间想象能力和逆向思维能力三个角度提升了学生的数学学习能力、优化了学生的思维品质、发展了学生的空间观念。

二、在“数与代数”中巧用逆向思维，发展学生的数感和运算能力

“数与代数”板块的内容大体上可以分为数的认识、数的运算、式与方程等内容。“数与代数”板块的重要教学目标就是培养学生的数感，提升学生的运算能力。

1. 运用逆向思维，发展学生的数感

数感是新课标提出的核心概念之一。新课标指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”所谓数感，就是对数的理解和感悟。具体来说，数感可以分为以下几个方面：能够用多种方法表示数;能在具体情境中把握数的相对大小;能用数来表达和交流信息;能为解决问题选择适当的算法等。数感并非为了数学学习而定义出来的数学概念，其本身就贯穿于数学教学的全过程中。在教学中，教师应注重发挥逆向思维在培养学生数感方面的作用，这能起到事半功倍的效果。

比如在讲解“认识1～5”时，教师为学生出示了一幅图（如图2所示）。教师先引导学生认识1个太阳、1棵苹果树，2只小鸟、2个人，3朵白云、3个苹果、4朵花、5只小鸭子，从而引导学生在清晰实物的基础上抽象出数学符号，认识1、2、3、4、5。在此基础上，教师再引导学生反向思考：“1”除了可以表示1个太阳、1棵苹果树外，还可以表示什么？学生纷纷回答：“1”还可以表示1条小船、1支铅笔、1个汉堡，凡是数量是1的物体都可以用“1”来表示。“2”除了可以表示2只小鸟、2个人以外，还可以表示什么？学生回答：“2”还可以表示2只鱼、2瓶水，凡是数量是2的物体都可以用“2”来表示……

教学中，教师引导学生经历从实物到符号的正向思考，又使学生体验从符号到实物的逆向思考，从多个角度使学生真正理解数学符号的内涵，这种正向思考和逆向思考相结合的教学方式能提升学生的思维灵性、优化学生的思维品质、发展学生的数感。

2. 运用逆向思维，提升运算能力

新课标指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”运算能力是小学生数学核心素养的重要组成部分，运算教学贯穿于小学数学教学的始终。在运算教学中，加法与减法、乘法与除法互为逆运算，教师在四则混合运算的讲解过程中，可使学生逆向思考，经历逆向运算的过程往往能够促进学生对算理的理解，还能够节省运算时间，提升运算的准确度。

比如在讲解“乘除法”时，教师设计了这样的题目：“桌子上有5个盘子，每个盘子里有3个苹果，一共有多少个苹果？”学生列式为3×5=15（个）。接着教师变换题目：“一共有15个苹果，每个盘子里放3个苹果，一共需要几个盘子？”学生思考后列式15÷3=5（个）。在讲解“混合运算”时，教师设计了这样的题目：9+99+999+9999+99999。如果按部就班地从左到右的顺序逐一相加非常麻烦，教师可引导学生逆向思考：运用减法运算是不是会简便一些？在教师的启发下，有学生列出了这样的式子：（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）=111110-5=111105，这就使得计算过程大大简化了。又如在讲解“乘法分配律”时，学生对于（a+b）×c=a×c+b×c熟记于心，却对a×c+b×c=（a+b）×c不甚熟悉。為此，教师设计了这样一道题：3.7×76.8+23.2×3。教师引导学生先把3转化为3.7，然后再通过乘法分配律的逆运算a×c+b×c=（a+b）×c，实现运算的简便化。

乘法与除法、加法与减法、乘法分配律的互逆运算，学生经过了正向和反向的双向思考，丰富了学生对运算本质的理解，锻炼了学生的逆向思维能力，提升了学生的运算能力。

三、在“实践与综合应用”中巧用逆向思维，发展学生解决问题的能力

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。提升学生的思维能力不能“纸上谈兵”，必须使学生在解决问题的过程中不断提升能力、发展素养。小学数学中的“实践与综合应用”板块致力于引导学生通过学到的知识解决实际问题。在这个过程中，当学生的正向思考遇阻时，教师要引导学生从反向进行思考，或许学生就会有不一样的思维体验。

比如教师出示了这样一道题目：淘气有一些课外书，他送给笑笑5本，妈妈又给淘气买了9本，这时淘气一共有课外书20本，那么淘气原来有多少本课外书？由于低年级学生尚未接触到方程的知识，因此本题对于他们而言有一定的困难。教师启发学生转变思考路径，学生通过反向思考，列出算式20-9+5=16（本），问题由此得以顺利解决。

解题中，当学生的思维受阻，甚至陷入停滞时，教师可引导学生进行逆向思考，从而为学生的思维打开“另一扇窗”。在学生进行逆向思考的过程中，不但让数学问题迎刃而解，而且学生的知识得到了拓展，解决问题的能力得到了提高。

总之，在小学数学教学中，教师要深入挖掘教材中训练学生逆向思维的生动素材，并将这些“反其道而行之”的内容恰到好处地呈现给学生，指导学生逆向思考，以果索因、正逆互换，发展学生的空间观念、数感和运算能力，提升解决问题的能力。