一类带时变系数的退化抛物系统的奇性

胡 丽, 樊明书

(西南交通大学数学学院， 成都 610031)

1 引 言

在本文中, 我们研究以下的方程组：

(1)

其中Ω⊂Rn是一个光滑有界区域,m,n>1， 系数k1(t),k2(t)是关于t>0的正连续函数. 我们假设非线性项f1(v),f2(u)满足f1(v)>0,f2(u)>0,f1′(v)>0,f2′(u)>0,(u,v>0)，f1(0)=f2(0)=0，且初值u0(x)，v0(x)是非平凡的非负连续函数, 在边界∂Ω上为零.

自上世纪60年代以来, 很多学者对非线性抛物方程的整体解和爆破进行了研究[1-6].如，2007年Payne等[7]研究了带Dirichlet边界条件的下述半线性抛物问题

ut=Δu+f(u), (x,t)∈Ω×(0,t*),

证明了该方程存在爆破解, 并对爆破时间进行了估计.2016年, Xia等[8]研究了半线性抛物方程

ut=Δum+f(t)g(u), (x,t)∈Ω×(0,T),

其边界条件为u(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×(0,T)，证明了解的全局存在性, 解在有限时间内爆破, 并给出了爆破时间的上下界估计. 同年，Xia等[9]研究了方程组的相似情形. 其它的相关工作还可参见文献[10-13].

另一方面，在文献[5]中, Du给出了拟线性退化方程(组)爆破解的处理方法. 受此启发, 我们利用该文中的方法对问题(1)进行研究. 我们将首先建立(1)的局部存在性和比较原理，在此基础上给出(1)的整体存在和爆破的条件. 我们的主要结果如下.

定理1.3假设存在正常数p,q及ξ>0使得f1(ξ)≥ξp,f2(ξ)≥ξq成立, 且k1=min{infk1(t),infk2(t)}>0. 若pq>mn, 则问题(1)的每个古典解对大的初值u0(x),v0(x)在有限时间内爆破.

2 比较原理

在本节中我们证明定理1.1.固定ε>0并定义u0,v0为

u0=u(x,0)+ε,v0=v(x,0)+ε

(2)

对n=1,2,3,…, 归纳定义un,vn为下述问题的解：

(3)

容易看出,un≤un-1,vn≤vn-1(n=1,2,…). 对n=1, 该不等式是我们的假设. 换言之, 我们假设u0≥u1,v0≥v1. 设该不等式对n-1成立, 即

un-1≤un-2,vn-1≤vn-2.

那么

un-1,t-Δun-1(x)m-k1(t)f1(vn-1)≥

un-1,t-Δun-1(x)m-k1(t)f1(vn-2)=0,

vn-1,t-Δvn-1(x)n-k2(t)f2(un-1)≥

vn-1,t-Δvn-1(x)n-k2(t)f2(un-2)=0,

un-1(x,0)≥un(x,0),vn-1(x,0)≥vn(x,0).

因而(un-1,vn-1)是问题(3)的一个上解，从而

un≤un-1,vn≤vn-1.

定义

当IΩ(u,v,χ)=JΩ(u,v,χ)=0时，我们称(u,v)是(1)的弱解.

设η满足

且

因此

同理,

这意味着

3 整体解的存在性

为了后面证明方便, 我们首先不加证明地引入下边两个引理.记

引理3.1若pq(0,0)T对所有c>0成立.

引理3.2若pq>mn, 则存在正常数l1,l2使得AL<(0,0)T且A(cL)<(0,0)T对所有c>0成立.

设φ(x)是

(4)

(5)

(1+φ(x))ml1-2|φ(x)|2+

(1+φ(x))ml1-1Δφ(x)}≥

-ml1Kml1(1+φ(x))ml1-1Δφ(x)=

ml1Kml1(1+φ(x))ml1-1≥

ml1Kml1(1+C)ml1-1

(6)

(7)

类似可得

nl2Knl2(1+C)nl2-1

(8)

及

(9)

其中

(10)

若pq0,l2>0，使得ml1-pl2>0，nl2-ql1>0且ml1<1,nl2<1.从而我们可以选择充分大的K使得K>max{K1,K2}，且

(K(φ(x)+1))l1≥u0(x),

(K(φ(x)+1))l2≥v0(x)

(11)

4 解的有限时间爆破

在定理1.3的证明中，我们采用Du在文献[5]中的证明思想.

首先，由比较原理, 我们构造问题(1)在Ω的某个子区域内的上解, 其中u,v>0.

设ψ(x)是一个平凡的非负连续函数且在∂Ω上为零. 不失一般性, 我们假定0∈Ω且ψ(0)>0. 接下来, 我们构造问题(1)的一个爆破上解. 记

(12)

其中

对充分小的T，记

B(0,R(T-t)α)⊂B(0,RTα)⊂Ω

(13)

(14)

且

(15)

其中T>0充分小.

(16)

(17)

从而

(18)

(19)

(20)

(21)

如果pq>mn, 由引理3.2知存在两个正常数l1,l2, 使得

ml1-pl2<-1,nl2-ql1<-1，

(m-1)l1>1, (n-1)l2>1.

这样，我们得到

pl2>ml1+1>l1+1,ql1>nl2+1>l2+1

pl2>ml1+1>l1+1,ql1>nl2+1>l2+1.

因此, (13)式对充分小的α>0和T>0成立. 应用式(18)～(21)得

(22)