数形结合思想下一类含参导数题命制策略探究

2021-04-15 08:14湖北

教学考试(高考数学) 2021年1期

湖北周威

含单参数的导数问题一直备受命题者青睐,若利用数形结合思想,基于函数图象相切界点,借助信息技术来归类分析导数综合题的命题立意,便能在这类试题的命制上找到一定的命题规律,便于把握该类题型的命题方向,并能以此为导向进行试题的命制或改编,从而在复习备考中真正抓住高考“四翼”的考查要求,真正体现“高考是引导教学的一面旗”的教学导向.

数形结合思想一直是高中数学比较重要的数学思想,不仅体现在解析几何中,还体现在函数当中.利用函数图象解决问题,便是数形结合思想的一种体现,避免了从函数的单调性、求导方面去解决问题.同样,若能从数形结合的角度去研究和归类导数的一些问题,也能很快透析命题立意,提升教师导数命题技术.本文从一道模考题出发,结合2020年全国卷Ⅰ以及新高考Ⅰ卷(供山东省使用)的导数题命制特点,探讨一类导数题型的命制策略.

一、一道模考题的解法、命题立意与归类

【例1】(2020·湖北七市州5月联考理·20)已知函数f(x)=ex+ln(x+1)+asinx.

(1)当a=0时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;

(2)若f(x)≥1对任意x∈[0,π]恒成立,求实数a的取值范围.

此题基于基本初等函数y=ex与y=lnx,设问形式上第(1)问求f(x)在某点处的切线方程,第(2)问是与函数中含单参数a有关的恒成立问题,与2020年全国卷Ⅰ以及新高考Ⅰ卷(供山东省使用)导数题的设问一致.含单参数函数的恒成立问题多与“构造函数与分类讨论思想”以及“分离参数”、“函数局部单调性”等解题策略有关.因此,例1(2)的解法自然也可以从这三个角度去分析.

1.构造函数与分类讨论思想

例1(2)解法1：∵当x∈[0,π]时,f(x)=ex+ln(x+1)+asinx≥1恒成立.当a≥0时,∵x∈[0,π],∴sinx≥0,∴f(x)=ex+ln(x+1)+asinx≥ex+ln(x+1)≥1.∴f(x)≥1.

①当a≥-2时,f′(0)=2+a≥0,

则f′(x)≥f′(0)=2+a≥0,∴f(x)在[0,π]上单调递增;又f(0)=1,∴f(x)≥f(0)=1恒成立.

②当a<-2时,∵g(0)=2+a<0,g(π)>0,∴g(0)·g(π)<0,∴f′(0)·f′(π)<0,

∵f′(x)在[0,π]上单调递增,∴存在唯一的零点x0∈(0,π),使得f′(x)=0,

∴当x∈(0,x0)时,f′(x)<0.∴f(x)在x∈(0,x0)上单调递减,f(x0)

∴当a<-2时,f(x)≥1不恒成立.

综上当x∈[0,π]时,f(x)≥1恒成立,则a≥-2.

2.分离参数

3.函数局部单调性

所谓利用函数局部单调性,就是当函数f(x)满足f(x0)=m时,且有某区间内f(x)≥m(或f(x)≤m)恒成立,则可结合f′(x0)的正负来确定参数的范围,然后再验证在此范围下是否能得出题设中的已知结论.

4.参数a与正弦函数的积、固定函数组合的恒成立问题

在例1试题立意时,这个参数a的最小值(临界点)是如何确定的呢？显然,参数a的最小值(临界点)在命题立意时就已经通过固定函数的图象确定了,毕竟没有无缘无故的a≥-2.为了透析-2的意义,通过变形可得到asinx≥1-ex-ln(x+1),即为参数a与正弦函数的积和一个固定函数比较的恒成立问题,若取固定函数n(x)=1-ex-ln(x+1),令m(x)=asinx,接下来就需要基于数形结合相切的临界点,根据参数a的变化,使得两函数的图象相切.这其实是数学命题时经常采用的一种策略,从参数a的变化可得图1中的图象变化.

a<0

相切

a>0图1

由图可知,因为a变化只改变m(x),m′(x)最高点的位置,因此在(0,π)内当m(x)与n(x)相切时就是asinx≥1-ex-ln(x+1)的临界点,即∃x0∈(0,π),使得m(x0)=n(x0),m′(x0)=n′(x0),根据图象可得此时a=-2.当a≥-2时,m(x)的图象会永远在n(x)图象的上方.这就是此题的命题立意.