基于Jensen和Gaussian尾流模型的风电场布局优化的比较

朱 洁， 匡 婵， 赵宜婵

（西南交通大学数学学院，成都 611730）

由于自然资源的减少和空气污染的加重，可再生的新型能源得到了越来越多的关注. 风能由于其清洁、储存量大、商业化前景好等优点，近年来成为能源产业的重要发展对象. 2018年底，全球风电累计装机容量达591 GW，中国累计装机容量达210.6 GW，占全球装机总容量的35.6%，占全球新增装机容量的41%［1］. 预计在未来的十年，中国将始终是全球第一大风电市场.

理论上来说，在给定的风电场区域，风机的个数越多风电场的发电量就越高. 但是，当风流经风机时，会产生风速的损失，导致下游风机的风速下降，即产生尾流效应. 研究表明，尾流效应会导致风电场总发电量损失达10%～20%［2］. 为减少风机间的尾流效应，提高风电场的发电效率，风电场的布局优化成为最受关注的课题之一. Mosetti［3］首次提出采用遗传算法优化风电场布局，以单位功率成本最小化为目标，确定风机的个数和位置；Grady［4］通过扩大初始种群和增加迭代数目，优化出更好的布局结果；Chen［5］在风电场布局优化中，考虑了不同轮毂高度的风机，以减少风机间的尾流效应；胡剑箫［6］通过对初始种群和变异的概率进行调整，使用改进的遗传算法获得了更好的布局优化；田琳琳［7］以年运行成本最低和年发电量最大为目标，考虑了在复杂地形的风电场中风机的排布情况. 此外，Eroğlu［8］采用蚁群算法，Feng［9］提出随机搜索方法，Song［10］采用贪婪算法，Amaral［11］采用粒子群算法应用到风电场布局优化中，进一步提高了风电场的发电效率.

Jensen尾流模型［12］由于其模型简单，在解决风电场布局优化问题中被很多研究者采用. Porte-Agel［13］以高斯曲线来描述风机尾流中的风速分布，并指出Gaussian尾流模型计算的损失风速与LES模拟和风洞测量结果拟合较好. 这两种尾流模型在风电场布局优化方面有何不同，在实际应用中应该如何选择尚未有相关的研究. 本文采用改进的遗传算法，在常用的三种风况下，分别优化出这两种尾流模型的最优布局，并比较两种最优布局的异同，为风电场工程应用提供参考.

文章第1节介绍了本文采用的尾流模型和目标函数，第2节介绍了本文采用的改进遗传算法，第3节从尾流风机风速和布局优化两个方面比较两种尾流模型，主要结论见第4节.

1 尾流模型和目标函数

1.1 Jensen尾流模型

Jensen提出的线性尾流模型在风电场布局优化中得到了广泛的应用［14］（图1）. 上游风机j 产生的尾流效应导致下游风机i 的风速为：

当下游风机i 受上游n 台风机的尾流影响时，根据动量守恒定律［15］，多台风机混合尾流的动能亏损等于单台风机的尾流动能亏损之和，所以风机i 的风速可以表示为：

1.2 Gaussian尾流模型

Porte-Agel提出的Gaussian尾流模型对尾流区域风机的损失风速预测如下.

受上游风机j 的尾流影响，下游风机i 的风速表示为：

式中：U 表示来流风速；δuij表示损失风速，

其中：CT为推力系数；σ/D=k*xij/D+ε，σ 是损失风速的标准差，k*=δσ/δxij是尾流增长率，k*与表面粗糙度z0和湍流强度I0有关［16］，xij是尾流下游距离，D 是风机转子直径，ε 对应于xij趋于0时的σ/D 的值；rij是尾流径向距离.

Gaussian尾流模型是连续模型，如图1所示. 因此，所有上游风机j 都会影响下游风机i. 下游风机i 受到上游n 台风机的尾流影响时，风机i 的损失风速δui可表示为：

式中：当风机i 位于风机j 的尾流区域时，aij值为1，否则为0.

尾流区域风机i 的风速表示为：

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只有当风机下游距离大于等于3D 时，损失风速剖面才可以假设具有高斯形状. 为了减少尾流区的高水平湍流强度对风机产生过大的负荷，设置风电场内任何两台风机之间的最小距离为5倍转子直径（5D）［17］.

图1 Jensen尾流模型与Gaussian尾流模型的风速剖面图Fig.1 Wind speed profiles of Jensen wake model and Gaussian wake model

1.3 目标函数

以单位功率成本最小化作为风电场布局优化的目标：

其中：Cost 是风电场的总成本，采用Mosetti提出的成本函数；Ptotal是风电场的总功率，可以表示为N 台风机的功率之和.

其中：ρ 为空气密度；A 为风机扫掠面积；Cp=4a(1-a)2为功率系数.

除了功率成本外，本文还利用风电场的功率效率来分析尾流模型对发电的影响. N 台风机的风电场的功率效率可以为［18］：

其中：P*(U)是不存在尾流影响的情况下，风机在来流风速中产生的最大发电量；θw表示来流风向，当风向改变时，下游区域的风机也相应改变. 为了确定多尾流影响下的损失风速系数aij，引入坐标旋转的方法.将旋转角与风向角相对应，按照y 轴降序排列风机(xi,yi)，其中y 值较小的位于风电场下游区域.

2 改进遗传算法

遗传算法是由大自然的生物进化思想演化而来的全局搜索方法. 它不存在函数连续性和凸性的限制并且支持多目标优化［19］. 首先，随机产生初始种群p(t)，初始种群中的每个个体代表优化问题的一个潜在解决方案. 目标函数对应于每个个体的适应度，根据选择概率，保留适应度高的，淘汰适应度低的. 然后通过一定的交叉概率和变异概率，对群体中的个体进行交叉和变异，产生新的下一代群体p(t+1) . 重复此过程，直到满足设置的迭代条件为止.

在风电场布局优化中，每个个体代表风电场中所有风机的位置，网格密度代表个体长度，个体的适应度是单位成本的功率. 通过选择、交叉、变异产生不同的风电场布局方案，直到目标函数收敛，得到风电场的最优布局.

①为增强初始种群中个体的多样性，令第i 个个体Qi的第j 位编码Qij等于1的概率为pi；

②为消除变异中的编码0和1的数量相等的趋势，对编码中的0和1采用可变化的变异率.

3 两种尾流模型的比较

3.1 归一化尾流风速

使用风机参数为D=40 m，h=60 m，z0=0.3 m，CT=0.88 的风机，比较了两种模型的归一化尾流风速. 从图2中可以观察到Jensen尾流模型的分布是离散的，并且低估了尾流中心的损失风速，高估了尾流边缘的损失风速；Gaussian尾流模型的分布是连续的，在5D～10D 的尾流下游距离，尾流中心的损失风速略高，但是损失风速在尾流径向距离上恢复得更快.

图2 两种尾流模型在风机转子下游5D、10D、15D处预测的归一化尾流风速的比较Fig.2 Comparison of normalized wake velocities predicted by two wake models at 5D，10D and 15D downstream of fan rotors

3.2 三种风况的布局优化

本文将2 km×2 km 的风电场划分为10×10 网格，在相同的三种风况下采用改进的遗传算法对Jensen尾流模型和Gaussian尾流模型分别进行了布局优化. 为了进行公平的结果比较，将Jensen尾流模型优化出的最优布局也使用Gaussian尾流模型进行评估，计算出相应的目标函数、功率和功率效率.

选用的风机参数如表1所示，三种风况如表2所示. 风况（a）中，0度风向代表正北方向，也表示来流风向；风况（b）中，按照顺时针划分36个来流风向（每10度一个风向）；风况（c）中不同风速在不同来流风向下的概率分布如图3.

表1 风场参数Tab.1 Wind farm parameters

表2 三种风况Tab.2 Three wind conditions

图3 风况（c）中风速在不同风向的概率分布Fig.3 Probability distributions of wind speeds at different wind directions in wind condition（c）

3.2.1 风况（a） 在风况（a）中，以单位发电量的成本最小为目标，在10×10 的网格密度中，优化出两种模型的最优布局. 风机排布如图4，风况（a）的优化结果见表3.

图4 风况（a）中两种模型的风电场最优布局Fig.4 Optimal layouts of wind farm based on two models in wind condition（a）

表3 风况（a）的优化结果Tab.3 Optimization results of wind condition（a）

从图4可以看出，在风况（a）的情况下两种尾流模型得到的最优布局整体比较相似，由表3可知两种尾流模型的风机台数、目标函数、功率及功率效率均比较接近. 由于单风向下Jensen尾流模型低估了尾流中心的损失风速，所以风电场的功率比Gaussian尾流模型稍微高一些，从而目标函数更优，这是合理的. 故风况（a）情况下两种尾流模型的最优布局中Jensen尾流模型表现稍好一些，但两者之间没有显著差异.

3.2.2 风况（b） 在风况（b）的情况下，在10×10 的网格密度中，优化出两种模型的最优布局. 风机排布如图5，风况（b）的优化结果见表4.

图5 风况（b）中两种模型的风电场最优布局Fig.5 Optimal layouts of wind farm based on two models in wind condition（b）

表4 风况（b）的优化结果Tab.4 Optimization results of wind condition（b）

从图5可以看出，多风向的情况下，两种尾流模型的布局有比较显著的差异. Jensen尾流模型的最优布局中，风机的分布比较均匀，风机大多排布在风电场的中间区域. 而Gaussian尾流模型倾向于将风机排布在风电场的最外层区域，只有21.7%的风机排布在风电场的中间区域.

从表4可以看出，这两种尾流模型优化出来的最优风机个数有显著的不同，Gaussian尾流模型优化的风机个数要更多一些. 同样的布局，Gaussian尾流模型中的目标函数要小于Jensen尾流模型，这一结果的主要原因是Gaussian尾流模型的损失风速恢复得更快，对中间区域的风机影响较小.

3.2.3 风况（c） 在风况（c）的情况下，每种风速在各个风向发生的概率如图3所示，根据风向和风速发生的概率，加权得出风电场的总功率输出，依据目标函数最小优化出两种模型的最优布局. 风机排布如图6，风况（c）的优化结果见表5.

图6 风况（c）中两种模型的风电场最优布局Fig.6 Optimal layouts of wind farm based on two models in wind condition（c）

表5 风况（c）的优化结果Tab.5 Optimization results of wind condition（c）

从图6可以看出，多风向多风速的情况下，两种尾流模型得到的最优布局也有显著不同. 虽然两种尾流模型都倾向于主风向上排布较多的风机，但Jensen 尾流模型在风电场中间区域布置了相对更多的风机，Gaussian尾流模型与风况（b）比较相似，倾向于将更多的风机排布在风电场的最外层区域.

从表5 可以看出，风况（c）的目标函数值要比前两种风况低很多，这是由于功率与u3成正比，而17 m/s的风速在各个风向发生的概率占主导地位导致的. 在这种更为接近真实情况的复杂的风况下，我们可以看出风况（c）与风况（b）类似，由于Gaussian 尾流模型的损失风速恢复得更快，对中间区域的风机影响较小，故目标函数和功率要优于Jensen 尾流模型. 从功率效率上来看，与风况（b）相比，Jensen 尾流模型的功率效率在更为接近真实情况下要差一些，而Gaussian 尾流模型的功率效率则相反，越接近真实情况表现越好.

图7是三种风况下Gaussian尾流模型的收敛曲线，可以看出最优布局都是算法收敛的结果.

图7 三种风况下的Gaussian收敛曲线Fig.7 Gaussian convergence curves under three wind conditions

4 结论

本文采用改进的遗传算法在三种风况下分别利用两种尾流模型优化出最优风电场布局，从单位功率成本、功率和功率效率方面对Jensen尾流模型和Gaussian尾流模型的最优布局进行了比较，展示了使用不同的尾流模型而导致的布局优化的差异. 在简单的单风向下，两种尾流模型的最优布局没有显著差异，由于Jensen尾流模型低估了尾流中心的损失风速，目标函数更优一点；在复杂的风况下（风况（b），风况（c）），两种尾流模型的布局有显著不同：Jensen尾流模型会将相对较多的风机排布在风电场的中间区域；Gaussian尾流模型偏向于将风机排布在风电场的最外层区域且最优布局的风机数普遍比Jensen模型多. 由于Gaussian尾流模型风速恢复得更快，相同的布局下，目标函数要优于Jensen尾流模型. 通过风况（c）与风况（b）比较，在更加复杂的风况下，从功率效率来看，Gaussian尾流模型表现得更好一些.

Porte-Agel通过案例研究表明，Gaussian尾流模型与LES模拟和风洞测量结果一致，预测的损失风速更为精确，比Jensen尾流模型更加符合实际情况. 结合本文研究的最优布局的结果，综合考虑目标函数、功率效率及风电场的总功率，Gaussian尾流模型在复杂风况的实际工程应用中可能是更好的选择.