一类无穷级数和的概率方法求解

舒洪铭 许昌林

【摘要】本文是针对一类收敛无穷级数的求和问题的.本文通过构造适当的概率模型，将无穷级数的求和问题转化本文随机事件求概率的问题，最终利用相关概率知识，解决了无穷级数的求和问题，这为无穷级数的求和问题提供了一种新思路.

【关键词】无穷级数;求和;极限;概率模型

【基金项目】宁夏自然科学基金项目（2020AAC03217），国家级大学生创新创业训练计划项目（S2020-11407-027G），北方民族大学统计学特色专业资助

一、引言

目前，对无穷级数收敛性的判断以及求和的方法有很多，如定义法、函数项级数以及幂级数等方法.除了这些收敛级数求和方法之外，通过构造适当的概率模型对一些复杂无穷收敛级数进行求和也是一种方法.为此，本文针对具体收敛的正项级数，通过构造适当的概率模型以及运用相关概率知识对其进行求和，并将这种方法推广至更一般的正项级数求和问题中，由此解决了复杂级数的求和问题，为无穷级数的求和提供了一种新的求解方法.

二、无穷级数和的概率方法求解

对于下列无穷级数

S=1-12×13+1-12×1-13×14+…+1-12×1-13×1-14×…×1-1n+1×1n+2+… （1）

的求和问题，根据正项级数收敛的判定准则，可以判定上述（1）式的级数是收敛的.为了利用适当的概率方法求出该级数的和，首先将（1）式转化为

S=1-12S1，（2）

其中，S1=13+1-13×14+…+1-13×1-14×…×1-1n+1×1n+2+….

下面通过构造适当的概率模型求解级数S1的和.

概率论模型一： 设一个装置中放有1个白色、2个黑色共3个大小、形狀、质量均相同的小球，现从装置中每次有放回地随机摸取1个小球.若取到白球，则试验成功，停止试验;若取到黑球，则把取出的黑球放回的同时，再向该装置中加入1个黑球，重复上述摸球操作.求试验成功的概率.

四、总结

本文主要通过构造适当的概率模型，针对一类无穷级数求和问题给出了概率求解方法，这为无穷级数的求和问题提供了一种新的思路.除此之外，将概率方法应用到其他领域（如重积分的求解等）将是我们进一步的研究方向.

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