题目千变总有根
——谈高中数学问题的解决策略

杜盛伙

（福建省三明市宁化县第一中学，福建 三明 365400）

许多数学教师在每次考试后经常讲的一句话是：“这道题我上课讲过类似的，学生的得分率怎么还这么低”。而学生总是和老师说：“许多题目似曾相识，但就是做不出来”。为什么会有这样的偏差？因为在新高考背景下，高考数学命题没有考试大纲，依据高考评价体系，在立德树人的指导思想下，既考查学生对基础知识，基本技能的掌握程度，又考查对数学核心素养的理解水平。如果在平时学习中仅就题论题，对问题的理解只停留在知识、方法表象层次上，而没有领悟到问题背后的根，那么学生刷再多的题，也只是事倍功半。因此，教师在平时的教学中要引导学生，解题要注重归纳领悟，归纳出每类题的数学之根；数学的根应该是数学最本质的东西，是数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼，数学核心素养的理解。

1 研究问题的变式，留住知识之根

许多的高考试题都是通过课本中的习题改编而来的，教师在教学中，要注意一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性，通过对变式问题的研究，可以解决一类问题，既探究数学知识的内在联系，又养成多角度思考问题的习惯，开拓解题思路，从而培养和提升数学核心素养。

例1、在ΔABC中，AB=3,AC= 5,若点P为线段BC的中点，则=______。

解：因为点P为线段BC的中点，所以又因为

所以

变式1、在ΔABC中，AB=3,AC= 5,若点P为ΔABC的外心，则

解：取BC的中点D，连接,AD PD，则

又点P为ΔABC的外心，点D为BC的中点，故，则

变式2、在ΔABC中，AB=m,AC=n，点D为BC的中点，若点P为线段BC垂直平分线上的任意一点，求证：

2 优化问题的解法，留住方法之根

一题多解，触类旁通，培养学生发散思维能力及思维的灵活性；一题多解的本质是用不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系，从不同途径，用多种方法思考问题，可开拓解题思路，掌握知识的内在联系，并从多种解法的对比中选出最佳解法，总结解题规律，提高了分析问题、解决问题的能力。

例 2 、已 知 函 数f(x)=x3+ax2+bx+c，且0＜f( -1 )=f( -2 )=f( -3 ) ≤ 3，则（）

A、c≤3B、3＜c≤6

C、6＜c≤9D、c＞9

解法一、由f( -1 )=f(-2 )=f( - 3)得：

则f(x)=x3+6x2+11x+c，

又因为0＜f( -1 ) ≤ 3，故0＜-6+c≤ 3，所以6＜c≤ 9，故选C。

解法二、设f( -1 )=f( -2 )=f( -3 )=k，则0＜k≤3

设f(x)= (x+ 1 )(x+2)(x+ 3)+k，则c=k+ 6，所以6＜c≤ 9，故选C。

解法三、由已知得：f(x)= (x+ 1 )(x+2)(x+ 3)+c- 6得：0＜-6+c≤ 3，

所以6＜c≤9，故选C。

解法四、令f( -1 )=f( -2 )=f( -3 ) = 3，则c= 9，故选C。

以上四种解法的认知水平并不是同一档次的，法一直接用已知条件求出系数a,b，代入后解不等式，为常规解法，运算量较大；法四为特殊值法，有一定的偶然性，和法一比更简洁，是一种行之有效的解决选择题的方法；法二、法三则蕴含了函数的零点与解析式之间的关系，是解决问题的基本方法，并可将问题结构转化为更高次数的函数问题。

总之，数学教学的本质是思维过程的引导、启发，在教学中要引导学生做题要多反思，从根处抓起，通过研究问题的变式，优化解题的方法等方式，跳出无边无际的书山题海，通过对解题过程的反刍，留住知识之根，方法之根，也只有从根处浇灌知识营养，数学之花才能灿烂绽放。