不同惯性系下系统机械能守恒相对性问题的再探讨

徐 学 尹 华

（江苏省苏州中学园区校，江苏 苏州 215021）

1 问题提出

涉及机械能守恒与机械能守恒定律的相对性问题一直是大家热议的话题.《大学物理》杂志多次刊登文章进行讨论，《物理教师》与《物理通报》杂志也多次刊登文章进行讨论.比如文献［1］中的例1论证了以相对于地面做匀速运动的小车为参考系滑块机械能守恒，以地面为参考系滑块的机械能不守恒，而文献［2］中的对有相同本质的实例的分析中证明了以地面为参考系和以相对于地面做匀速运动的小车参考系机械能都守恒.显而易见，对于同本质的实例，不可能两个结论都是成立的.这其中是什么原因呢？如果真如文献［1］所说机械能守恒对于不同的惯性参考系具有相对性.而伽利略原理指出对于物理学规律来说：一切惯性系都是等价的.机械能守恒的相对性是否与伽利略相对性原理相违背呢？

下面笔者先从理论上推导具有普遍意义的功能原理及机械能守恒条件的表达式以及在参考系转换后功能原理及机械能守恒条件表达式.再通过实例讨论不同惯性参考系机械能守恒是否具有相对性，然后指出文献［1］，［2］论证过程中值得探讨的地方，最后给出较为完善的结论.

2 理论讨论

机械能守恒是指在某一过程中系统在势力场（保守力场）中运动时，动能与势能相互转化，其机械能保持不变.机械能守恒是有条件的，文献［3］中指出

（1）S系中力场与时间有关的系统的功能定理.

对任一惯性系中各质点的位置和速度分别为ri和i（i=1，…，n）的n质点系统，如果除受到与时间t有关的势函数分别为Epin和Epout的有势内力fini和有势外力fouti的作用外，还受到其他力fothi（i=1，…，n）的作用，则系统的机械能E的变化率为

当惯性系不是惯性参考系时，只需要引入惯性力，然后将惯性力视为其它非保守力，上式还是适用.

（2）力场与时间有关的系统的机械能守恒定律.

式（1）也可以化为

（3）S′系中力场与时间有关的系统的功能定理.

现在将（4）式进行伽利略变换，

对于S′系，真实的力在伽利略变换下是不变量，相互作用内力总是成对出现的，且一对相互作用内力的功之和与参考系变换无关.［4］也就是只要是内力，无论是保守力还是非保守力所做功的值在不同的惯性参考系观察是一样的，则

由文献［3］中定义1可知，在外力场概念下质点的重力势能就是内力场概念下质点与地球之间相互作用势能.换句话说如果我们选的研究对象是质点，重力场就是外力场，但我们可把它转换为质点与地球为系统，两种情况下重力势能是相同的.结合内力做功与参考系无关，则可得到，

（13）式是条件部分，（14）式是结论部分.文献［5］（第73页）所说对于物理学规律来说，一切惯性系都是等价的.也就是说不存在特殊的优先的惯性系，物理规律在各个惯性系中都有相同的形式.由上面的论证，功能原理表达式在S系与S′中都相同.机械能守恒定律作为功能原理的特例，无论在S系或在S′系，只要满足条件式（2）和式（13），定有结论（3）或（14）成立.

结论2：机械能守恒定律对所有的惯性系都适用，它满足伽利略变换不变性，服从力学相对性原理.

也就是系统在S系中满足机械能守恒，换了另一个相对S系做匀速直线运动的S′系就不一定满足机械能守恒的条件，从而机械能就不守恒.文献［4］第74页表明：“一切惯性系都等价”并不是指人们在不同惯性参考系中所看到现象都一样，而是指不同惯性参考系中动力学规律都一样.如匀速行驶的大船上自由下落的水滴，在船上和地面上的人所看到的现象是不同的.但是水滴的运动都遵循牛顿运动定律.因此相对性原理虽然保证机械能守恒定律对于所有的惯性系都成立，但是它不能保证机械能守恒的事实对于所有惯性参考系都成立.［3］

例1.如图1所示，质量分别为m的小球相对地面做自由下落，一电梯相对于地面以恒速v0下降.地球的质量为Me，研究地面参考系与电梯参考系中物体与地球为系统机械能是否守恒？

图1

方法1：从机械能的定义角度来讨论.

以地面为参考系：小球从A运动到B，显然机械能守恒

E2-E1=-0·（m2-m1）显然以电梯为参考系，物体与地球这个系统的机械能不守恒.如何来解释上述的结果呢？

方法2：从机械能守恒条件来讨论.

对于以小球与地球为系统，小球与地球之间的相互作用力是内力，由质心运动定理可知，质心的加速度为0.

因此以质心为参考系可以看作为惯性系.如果以地面为参考系还是惯性系吗？

如图2，图中mg是地球对小球的吸引力，-mg是小球对地球的吸引力，这两个力是“小球与地球”这个系统的内力，地球由于受到小球吸引力-mg的作用，相对于质心参考系（惯性系）的平动加速度为

图2

电梯相对于地面做匀速运动，因此这也是电梯相对于质心参考系的平动加速度.

由上可知地面和电梯参考系都不是惯性系，当把地面与电梯作为惯性系研究时，要引入惯性力作为系统的外力.

由此可见以电梯为参考系，系统的机械能将不再守恒，机械能的增量就是地球受的惯性力所做的功.本实例说明不同惯性系的机械能守恒是相对的.

3 有关文献的说法的探讨

（1）文献［1］中例3的探讨.

图3

由文献［3］中所述：在外力场（以质点为研究对象）概念下质点的重力势能就是内力场（以质点与地球为系统）概念下质点与地球之间的相互作用势能.及约定质点与地面距离为0时质点与地球之间的相互作用势能即重力势能为0.

在以电梯为参考系B中重力势能为

把式（16）代入式（17）

再由小球所受的外力的惯性力的功可以忽略不计.则由式（1）可知

由上式可知，小球以电梯为参考系是机械能不守恒的.机械能不守恒的根源在于外力场的势函数显含时间，势函数显含时间的关键是重力场源地球是相对于电梯运动的.文献［1］中得出质点在电梯参考系中机械能守恒原因是没有考虑由于重力场源的运动引起机械能的变化，作者采用的方法是在地面参考系时以地面为重力势能的零点，而在电梯参考系中又以电梯的底部为重力势能的零点，在同一问题中，特别是讨论转换参考系的问题时，改变重力势能零点选取是不合适的.由于在转换参考系时小球与地球的相对位置是不会因为参考系的变换而变化的，所以对于重力势能的约定比较合适的是：质点与地面距离为0时质点与地球之间的相互作用势能（重力势能）为0.当然如不考虑参考系的转换时，为了研究方便可以选升降机地板为参考平面，则小球的机械能确实守恒.

（2）文献［2］中机械能守恒论证的探讨.

文献［2］中实例：如图4所示，水平地面上固定一个高为h、倾角为θ的光滑斜面.有一质量为m的小滑块（可视为质点），从斜面顶端由静止沿斜面自由下滑，同时有一小车相对于地面以速度u向右匀速运动.试讨论地面参考系和小车参考系中，滑块机械能是否守恒.

图4

图5

（3）文献［1］与文献［2］中结论不一致的解释.

读者可能感到疑惑的是，文献［1］中的例1中证明过程是正确的，得出以小车为参考系滑块机械能是守恒的，而以地面为参考系机械能是不守恒的.而文献［2］中实例中证明出在两个参考系中机械能都是守恒的，如何来解释呢？

文献［1］中例1如下.如图6所示，固定在车厢内的光滑斜面，倾角为θ，车厢以速度v0匀速前进，斜面上质量为m的滑块从斜面顶端自由滑下，试分析：以地面为参考系，滑块在下滑过程中机械能是否守恒？

图6

上式的值就是文献［1］中推导出机械能的增量.

图7

文献［2］中选取的系统是地球和滑块和斜面三者为系统，因此斜面产生支持力与滑块对斜面的压力变为一对内力，这对内力做功的代数和为0，不影响系统的机械能.所以以小车为参考系与以地面参考系机械能都守恒.但只要小车有竖直方向的分速度，则以小车为参考系机械能不守恒.

4 不同惯性参考系机械能守恒问题的综述

同一实例，讨论机械能在不同的参考系中是否都守恒的问题时需考虑4个关键词：① “系统”，选哪些物体为系统，这样能确定外力与内力.② “过程”，研究的是哪个时间段.③ “参考系”，如果是非惯性系，在受力分析时要注意加上惯性力（和内力相比不可忽略）作为非保守外力处理.④ “重力势能零点的选取”，考虑参考系的转换，应当选取质点与地面距离为0时质点与地球之间的相互作用势能即重力势能为0.只有这4者都确定了才能讨论机械能守恒问题.否则就失去了讨论的基础.

伽利略相对性原理中指的一切惯性系都是等效的是指物理规律在不同的参考系中是相同的，但并不表示不同惯性参考系中所见的现象是一样的，所以相对性原理能保证在不同参考系中机械能守恒定律都成立，但不能保证不同惯性参考系中同一事件机械能都守恒.因此机械能守恒的相对性并不违背相对性原理.