简谐振动在非惯性系中的动力学分析*

米仪琳

(北方工业大学理学院 北京 100144)

1 引言

简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可以分为若干个简谐振动，因此在大学物理教材中重点地探讨了惯性系中简谐振动的基本规律[1～3].那么在非惯性系中，原来做简谐振动的系统是否还在做简谐振动；非惯性系需要满足什么条件；振动的周期和角频率是否还是唯一地取决于振动系统，等等.学生在理解上容易出现错误，文献中也极少涉及[4～6].本文以弹簧振子、单摆复摆为例，系统研究了在各种平动、转动非惯性参照系中，系统做简谐振动的条件和运动规律.

众所周知，当系统位于非惯性参照系中时，系统不仅受到物体间的相互作用力，还受到惯性力的作用[7,8].若选地面为S系，S′系相对S系以加速度a0做加速直线运动.一运动质点相对S系的速度为ν，相对S′系的速度为ν′，则根据牛顿的绝对时空观和伽利略的速度变换方程，运动质点的绝对加速度a、相对加速度a′和牵连加速度a0的关系

a=a0+a′

(1)

若质点所受合外力为F，其运动速度远远小于光速，则质点质量m的相对论效应可以忽略，方程两边同时乘以标量m

ma′=F+(-ma0)

(2)

设f*=-ma0是S′系相对S系加速运动产生的，它是一种非相互作用力，我们把它称为惯性力[8].

当S′系绕静止于惯性系S中某一点O，以角速度ω转动时，质点的绝对加速度a、相对加速度a′的关系，则可以表示为[7]

(3)

其中r是从O点指向质点所在位置的有向线段，ν′是质点相对S′系的运动速度.若质点受到的合外力为F，S′系相对S系做匀角速转动，则在S′系中

ma′=F+mω2r-2mω×ν′

(4)

设离心力

科里奥利力

2 加速平动参照系中谐振动系统的运动

2.1 加速运动小车中的弹簧振子

一劲度系数为κ的轻弹簧连接一质量为m的小球(小球可以看做质点)，竖直悬挂于小车内，小车在光滑水平面上以加速度a运动，如图1所示.下面我们分析弹簧振子的运动情况.

图1 加速运动小车里的弹簧振子

选地面为S系，相对地面加速运动的小车为S′系.在S系建立xOy直角坐标系，小车沿x轴正向加速运动.以弹簧振子受力为零的位置即平衡位置为坐标原点，平行弹簧振子方向为O′x′轴，在S′系建立x′O′y′坐标系，如图2所示.

图2 弹簧振子位于平衡位置的受力分析

弹簧振子位于平衡位置O′点时，假设弹簧伸长δ，则在O′点

-κδ+masinθ+mgcosθ=0

(5)

mgsinθ-macosθ=0

(6)

(7)

如果小车运动的加速度a发生变化，弹簧振子的平衡位置会随着加速度a的改变而改变,弹簧振子不再是围绕平衡位置做往复运动.因此，只有小车匀加速运动时，弹簧振子的平衡位置才不随时间发生变化，弹簧振子和竖直方向的夹角θ是固定的,这时系统才有可能做简谐振动.

沿x′轴方向，将弹簧振子拉离平衡位置.假设某一时刻，弹簧振子位于坐标x′处，分析小球的受力情况.该时刻弹簧振子相对竖直位置偏离θ′，则根据式(2)，有

(8)

mgsinθ′-macosθ′=0

(9)

由式(7)、式(9)，得出

θ=θ′

(10)

式(10)说明弹簧振子在沿x′轴方向运动时，弹簧振子和竖直方向的夹角θ和它的运动状态无关.

由式(5)～(10)可以得出

(11)

x=Acos(ωt+φ)

(12)

振动周期

(13)

由式(5)～(13)得出，在相对地面匀加速平动的小车上，竖直悬挂的弹簧振子仍会围绕平衡位置做简谐振动，其平衡位置与竖直方向有一夹角θ，θ角取决于小车的加速度和弹簧振子所在位置的重力加速度；而振动角频率和周期只取决于振动系统，与小车运动的加速度无关.

采用与上述类似的方法，可以推导出，弹簧振子处于竖直加速平动参照系中(如，弹簧振子悬挂于竖直加速下降的电梯里)时，弹簧振子仍做简谐振动，并且振动角频率、周期只与振动系统有关.

2.2 斜面上的单摆

一倾角为θ(θ很小) 的斜面，静止在水平面上.车沿着斜面以加速度a自顶端滑下，单摆位于一小车内，单摆摆长l，摆球质量为m.下面我们讨论单摆的运动情况.

选地面为S系，沿斜面加速运动的小车为S′系.在S′系建立xOy直角坐标系，x轴沿斜面方向，y轴沿垂直斜面方向，如图3所示.

图3 小车沿斜面加速运动时，单摆位于平衡位置的受力分析

在S′系观察，某时刻单摆所受合力为零，单摆处于平衡位置，此时，单摆和y轴正向夹角α.将单摆受力向x轴、y轴方向分解

ma-mgsinθ-Tsinα=0

(14)

Tcosα-mgcosθ=0

(15)

则在小车相对斜面加速运动时，若悬挂于小车上的单摆处于平衡位置，单摆和y轴正向之间的夹角α满足

(16)

斜面倾角θ很小，则

(17)

若小车沿斜面加速运动时，加速度a随时间发生变化，则单摆的平衡位置也会随着加速度a发生变化，单摆将不再做简谐振动.

假设小车沿斜面做匀加速运动，将单摆拉离平衡位置，单摆开始运动，某一时刻单摆偏离平衡位置Θ，如图4所示，单摆和y轴方向之间的夹角为α+Θ，在S′系建立自然坐标系，取逆时针方向为转动正方向.

图4 小车沿斜面匀加速运动时，单摆的受力分析

分析单摆的受力情况，列出其动力学方程

(18)

(19)

由式(18)得出

(20)

若单摆偏离平衡位置的角度Θ很小，α也很小，斜面倾角θ也很小，则由式(14)～(20)得到

(21)

Θ=Θmcos(ωt+φ)

(22)

单摆运动的周期

(23)

式(14)～(23)说明，在单摆摆角Θ、斜面倾角θ很小，并且α也很小的情况下，单摆做简谐振动，并且其振动的角频率ω、周期T只取决于振动系统.在这里α是单摆处于平衡位置时和y轴方向的夹角，由式(17)可以看出α与小车运动的加速度密切相关.α很小，则要求小车运动的加速度满足

a-gθ≪g

(24)

即当a≪g时，单摆的运动才是简谐振动.

如果斜面倾角θ=0，则对应着单摆悬挂在小车上，小车在地面上沿水平方向以恒定加速度运动的情况，如图5所示.

图5 小车在水平面上匀加速运动时，单摆的受力分析

单摆处于平衡位置时，和竖直方向的夹角α，由式(17) 可以看出，此时

(25)

将单摆拉离平衡位置Θ，由式(18)、(19)可以给出在自然坐标系中，单摆的动力学方程

(26)

Θ=Θmcos(ωt+φ)

(27)

单摆运动的周期

(28)

单摆此时做简谐振动.由式(24)可以得出，α很小，则要求

a≪g

(29)

由以上的讨论可以看出，无论小车是在地面上，还是在静止的斜面上做匀加速运动，当小车运动的加速度a远远小于重力加速度g，并且单摆摆角Θ、斜面倾角θ都很小的情况下，单摆在加速平动的小车内仍围绕其平衡位置做简谐振动，振动周期只与振动系统和单摆所在位置的重力加速度有关，与单摆是否处于惯性系中无关.

2.3 加速运动电梯中的复摆

以加速度a向上运动的电梯内有一钟摆，如图6所示，分析钟摆的运动.

钟摆对悬挂点O的转动惯量为J，质心为C，悬挂点O到质心的距离OC=r.某一时刻，钟摆偏离平衡位置，与竖直方向夹角为θ(θ很小)，如图6所示.

图6 电梯加速上升时，钟摆的受力分析

以逆时针方向为转动正方向，根据刚体的角动量定理，可以得出

(30)

令

则钟摆定轴转动的动力学方程

(31)

钟摆转动的运动学方程

θ=θmcos(ωt+φ)

(32)

处于加速上升电梯中的钟摆，在摆角θ很小的情况下，仍做简谐振动.其周期

(33)

与在惯性系中不同的是，钟摆简谐振动的角频率和周期不仅与振动系统、钟摆所在位置的重力加速度g有关，还与电梯的加速度密切相关，钟摆简谐振动的角频率会随着电梯加速度的增大而增大.

3 转动参照系中的弹簧振子

一圆盘以角速度ω′绕通过盘心C点的竖直光滑轴转动，如图7所示.一劲度系数为κ、质量为m的弹簧振子固定于盘心，置于沿圆盘半径方向的光滑槽内.分析弹簧振子的运动情况.

图7 匀速转动圆盘上的弹簧振子及其受力分析

选地面为S系，匀速转动的圆盘为S′系.在S′系，以弹簧振子的平衡位置为坐标原点，沿径向凹槽建立Ox直角坐标系，分析弹簧振子的受力情况.

假设弹簧原长l0，弹簧振子处于平衡位置时，弹簧振子受力为零，弹簧伸长δ.则有

-κδ+mω′2(δ+l0)=0

(34)

拉伸弹簧振子离开平衡位置，某一时刻，弹簧振子处于坐标x处，于是

(35)

弹簧振子的动力学方程

(36)

令

则弹簧振子此时的运动学方程

x=Acos(ωt+φ)

(37)

所以，处于相对地面匀速转动的圆盘上，弹簧振子仍做简谐振动.其周期

(38)

因此只有当圆盘匀速转动时，弹簧振子的运动才是简谐振动，并且弹簧振子振动的角频率ω和周期T不仅与弹簧的劲度系数κ、弹簧振子的质量m有关，还取决于圆盘转动的角速度ω′，并且会随着角速度ω′的改变而改变.这与弹簧振子处于惯性参照系、加速平动参照系中完全不同.弹簧振子处于上述参照系中时，弹簧振子做简谐振动，并且振动的角频率ω和周期T只和振动系统有关，和其他因素无关.而在转动参照系中，弹簧振子仍做简谐振动，但振动的周期T和角频率ω与转动参照系的角速度ω′密切相关，不再唯一取决于振动系统弹簧振子.

4 结论

我们借助于惯性力，研究了处于不同非惯性系中的弹簧振子、单摆、复摆的运动，得出了非惯性系中简谐振动的条件和运动规律.研究发现，当谐振动系统处于非惯性系时，系统是否仍做简谐振动，与我们所选用的非惯性参照系和振动系统密切相关.系统只有处于匀加速平动参照系或匀速转动的参照系时，平衡位置才不随时间发生变化，系统才有可能围绕平衡位置运动.弹簧振子无论处于匀加速平动参照系还是匀速转动的参照系中，都依旧做简谐振动.只是在转动参照系中，弹簧振子振动的周期T和角频率ω与转动参照系的角速度ω′密切相关，不再唯一取决于振动系统；而处于水平加速平动参照系中的单摆，则在摆角Θ很小、斜面倾角θ很小(或θ=0)，同时平动参照系加速度a远远小于重力加速度g(a≪g)时，系统才做简谐振动，其振动周期T与系统是否处于惯性系无关，仍然仅与振动系统和重力加速度g有关；而处于竖直加速的平动参照系中的复摆，只要是做小角度摆动，其运动就仍然是简谐振动，但是与水平加速平动参照系中的单摆不同的是，位于竖直加速的平动参照系中的复摆，其振动角频率ω和周期T不仅与振动系统、重力加速度g有关，还与平动参照系的加速度a密切相关.本文为非惯性系中的简谐振动建立了清晰的物理图像，这将有利于加深学生对简谐振动的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力.