属性分析法对一道高考试题的分析与变式

安徽省合肥市第四中学(230000) 周赛龙

1 问题的提出

题目(2019年高考北京卷理科第18 题) 已知抛物线C:x2=−2py经过点(2,−1).

(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;

(Ⅱ) 设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0 的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=−1 分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

笔者利用属性分析法在此问题的基础上进行了一系列的变式探究,现介绍如下.

2 问题的分析与变式

3 反思总结

属性分析法是我们在进行数学研究时常用的方法之一,其一般过程是:1○对母题进行属性分解;2○改变母题的其中一个或几个属性,获得一个新命题;3○利用数学实验(如几何画板等数学工具)初步验证新命题的正确性;4○若初步验证新命题错误,则重复步骤2○、3○;若初步验证新命题正确,用严谨的数学推理证明新命题;5○在新命题的基础上,重复以上步骤,继续深入探究.本文在对原题目进行变式探究时所采用的主要方法就是属性分析法以及数学实验法.

有兴趣的读者,也可以改变题目的属性1(题目背景改为在椭圆或双曲线中)、属性5(点的轨迹问题,定量问题等),利用数学实验工具《几何画板》,进行进一步的深入探究,篇幅原因,这里就不再赘述[1].

何为“数学研究”?“研”字,左边一个“石”字,右边一个“开”字,就是要把大石头凿开,变成一块块的小石头;“究”字,上面一个“穴”字,下面一个“九”字,就是在穴中打洞,发现一个个出口.故把一个原问题“凿开”,分析其属性,挖掘其新的生长点,得到一系列的新问题,并设法“打洞”找到一个个出口,即为“数学研究”.而属性分析法就是我们在进行数学研究时“凿石打洞”的利器.