基于波利亚解题理论求解不良结构问题
——以2020年新高考全国卷第17题为例

华南师范大学数学科学学院(510631) 孙健 钟琳

2020年新高考引入了不良结构问题,此类问题引导学生的思维从知识的习得与记忆更多转向问题的解决、策略的选择,使学生从单一情境下的被动参与者转变成主动投入复杂情境的问题解决者[1],考查了学生构建问题、分析问题、解决问题的能力,对学生思维的灵活性有了较高要求,是新时代下人才选拔体系的必然要求.面对此类问题,“波利亚解题理论”提供了有效的思维方式.鉴于此,笔者以2020年新高考全国卷第17 题为例,深入探讨波利亚解题理论在不良结构问题中的具体应用.

一、预备知识

定义1 (结构不良问题)当问题的初始状态、目标状态、算子都明确时为结构良好问题,与之相对的,若初始状态、目标状态至少有一个没有明确界定而造成解决途径、评价标准、标准答案不唯一的问题则是不良结构问题[2].

定义2 解三角形是指从三角形的已知元素求出三角形未知元素的过程[3].

二、原题呈现

三、试题剖析

(一)弄清问题

(二)拟定方案

拟定方案是在正确理解和表征题目后对已有知识迁移的过程,是探索解题思路的重要一环,即在识别题目中的未知量、已知量和条件后对题目进行更深的理解,从而得到一些隐藏信息,然后把所有信息进行整合概括,从而形成知识的迁移,得到解决问题的方案.

(三)执行方案

(四)回顾反思

1.你能校验结果吗? 针对此题,不同的选择策略对应不同的解题过程以及不同的结果,检验结果是否合理只需验证所得结果是否满足全部已知条件、是否满足构成三角形的要素(即两边之和大于第三边).

2.你能否一眼看出哪个备选条件便于求解? 针对缺少初始状态的不良结构问题,若想快速锁定最佳的解答方案则需要对已知条件有一定的把控,这就要求在平常的学习中真正理解数学概念,了解相关定理公式结构,锻炼逻辑思维、培养判断意识,能够将问题转化为我们所熟知的数学问题,进行学习迁移,然后运用所学的知识方法进行求解.

3.遇到缺少初始状态的不良结构问题,是先选择还是先分析已有条件? 这两种情况对应着不同的思维方式,若先分析已有的条件,则有利于之后的条件选择,让学生能够选择出更有利的备选条件从而使得自己构造的问题简单易解,降低解题难度;若先进行选择,便使得初始状态、目标状态明确清晰,根据波利亚解题理论更有利于让学生回忆起相似题目从而进行知识迁移,同时也可能由于选择不当而增加解题难度,浪费解题时间.不同的学生须根据实际情况进行选择,无论哪种情况都需要学生对相关数学知识有准确的把控,能够迅速锁定最适合自己的解决方案.

4.你能不能进行推广?