如何将笛卡儿思想融入高中平面解析几何课堂

侯代忠 苏元美

[摘   要]在新课程理念下，平面解析几何教学应认真挖掘知识背后的数学文化，发展学生数学思维.笛卡儿作为解析几何的创始者，其思路、思想与方法对现代的解析几何影响深远，更是值得我们挖掘.

[关键词]数学思想;笛卡儿;曲线与方程;课堂教学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）17-0014-03

新课程理念下的数学教育，要在数学本质的基础上赋予课堂新的生命力，强调在课堂上发扬数学文化，传承数学精神.教育家米山国藏说过：随着时间的流逝，僵硬的数学知识点与定理会淡忘在人们的脑中，但是在接受数学过程中产生的数学思想、数学方法、数学思维、数学精神和数学情感等会伴随人们一生，并能够将其运用到其他领域中.

解析几何知识作为高中数学的重要组成之一，在高考中也占有着举足轻重的地位，是学生的重点学习板块.解析几何的知识中包含着许多数学思想，也承载了许多历史.了解解析几何的发展史对我们的几何学习有重要的作用.

《求曲线的方程》作为解析几何的起始内容，在教学中教师常常让学生生搬硬套解题的步骤，不过多解释缘由，从而忽略了一些能很好地渗透数学思想、数学素养、数学情感的好课.本文谈谈如何将笛卡儿思想融入高中平面解析几何课堂.

一、笛卡儿的解析几何思路

法国著名数学家笛卡儿是解析几何的创始人之一.在笛卡儿创立解析几何之前，几何和代数这两个学科早已独立发展起来了，但是却没有交集.当时笛卡儿认为，欧几里得几何太过于依赖图形，在证明过程中过分强调技巧性，过于抽象，对于想象力的要求较高;代数学却是单纯的计算，机械地进行法则和公式的运用，过于死板，不利于思维的发展.

笛卡儿看到了几何的直观性与代数的简便性，他结合了两种领域的优势，创造性地把几何和代数结合起来，也就是“数形结合”思想.此后，数学进入了变量数学阶段，开辟了变量数学，为今后的黎曼几何奠定了基础.笛卡儿曾说过：“我要改革这个局面，把抽象的几何，变成那些不需要去思考太多几何逻辑仅用于练习思想的问题，这样做也是为了更好地研究几何.”

笛卡儿解析几何的基本思路包括：

（1）引入坐標观念，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系;

（2）利用坐标法，加入极限思想.坐标上的点都可以表示成一个数，当无数个数连接到一起时，便形成了一条曲线，这样就可以用方程去表示曲线;

（3）提出了用方程关系表示曲线的思想，具有同种关系的点，就可用一个方程表示;

（4）找到图形中已知几何图形与未知几何图形之间的等量关系，将其用代数形式表示，用已知的量表示未知的量，构造代数方程;

（5）最后通过代数法则求解方程，最终解决几何问题.

研究笛卡儿创立解析几何的历程，我们可以得到：数学思想——数形结合、特殊到一般;数学方法——变量代替不变量;数学原理——映射原理.

二、《求曲线的方程》中蕴含的解析几何因素

曲线和方程是解析几何中的核心概念.研究曲线与方程的目的是用代数的形式表示曲线的几何特征，并通过代数运算法则处理相关的等量关系，进而利用代数法则去求解，从代数的结论得出相应的几何性质.学会求曲线的方程是研究几何性质的基础与关键，即利用映射原理，将曲线上的点与方程上的解一一对应.曲线上的所有点构成集合，也就是一个方程.“数形结合”与“由特殊到一般”等是整个解析几何的重要数学思想.

目前的教学与学习上侧重于机械的算法训练，忽视了很多几何的特征.笛卡儿创立的对几何简约处理的解析几何，现代学生并没有感受到其科学价值与文化地位.一味的机械计算，又偏离了高中解析几何的课标指引，同时也违背了笛卡儿创立的初衷.

本节通过笛卡儿思想由来的渗透，体会数学的本质，加深学生对数学中的代数方法的认识，巩固求曲线的方程步骤的应用，感悟数学思想.

三、将笛卡儿思想融入解析几何课堂的策略

1.挖掘知识深度

每个知识点的背后都隐藏着独有的思想方法与逻辑思维，而这个知识的历史是数学发展过程的记录，记载了知识的发生和经过，记载了数学家研究成功与失败的过程，其中蕴含着数学思想的传递及数学思维的形成.

历史的研究主要是研究人类的思想，从历史的认识方法论的特征中我们可以了解到，想要研究历史，并不是单纯地了解历史，而是从历史的起点出发，以整体的大观去理解历史，研究其历史思想，并与现实社会结合到一起，在此基础上“再创造”出新的成果.

教师在备课过程中，要对教材进行深入的研究，抓住知识的本质，积极挖掘知识背后的数学文化、思想产生过程.重新整理数学历史材料，提炼出其思想方法，与数学知识结合在一起，为课堂教学做好充分的准备.

课前可以做以下步骤：

（1）挖掘.可以从历史中挖掘出数学逻辑思维、思想方法的文化内涵.

（2）转化.将历史素材转为数学材料，研究解析几何的教学策略.

（3）联系.将课堂及现实社会联系起来.

例如，高中解析几何就是笛卡儿所创立的解析几何，教师在准备这个章节时可以从笛卡儿的创立的心境、环境、思维过程、思想方法和克服困难等去进行课堂各方面的渗透.

2.拓展知识广度

知识的数学史材料包含着知识的思想方法，将数学思想融入课堂的途径可以参考数学史融入数学课堂的途径，使得课堂有趣、丰富起来，让学生在“再经历”的过程中，培养学生的创造性思维能力，同时还能学习数学家刻苦钻研的精神.

对于将数学史材料渗透到数学课堂中，汪晓勤提出了四种方法：附加式、复制式、顺应式、重构式.附加式与复制式是直接应用，较为简单.而顺应式与重构式则是较为高级的渗透方式.重构则是“再创造”知识发生的过程，让学生置身于知识产生的过程，去感悟思想的形成与方法的建构，体会科学家在探索过程中的困难，再感受解决困难时思想发生的过程.

教师可根据不同的课型，选择适当的方式进行教学.

例如，以一个实际问题开启课堂.有一个半径是1米的圆形铁圈，有一根木棍连着圆上的一个动点和距离圆外3米的点，有一只老鼠在木棍上的中点，求老鼠移动的轨迹.

用一个实际题目，设置困难，幻想自己是笛卡儿，如何去解决这个困难？

引导学生思考：老鼠移动的轨迹，就是老鼠的各个脚步汇聚起来的点.将老鼠的各个脚步看成一些点，这些点的集合就是一条线.那么怎么去找到这样的一条线呢？这样的一个中点怎么可以和前面的信息搭建起联系呢？

教师可以切换回历史，当时的笛卡儿和大家也有一样的困扰，这样的问题用纯几何的方法去解决，难度似乎有点大.他为了使问题解决得更快捷，为了能够表示这样的位置，创造出了“笛卡儿坐标系”.他将几何图形搬到“笛卡儿坐标系”中，将“数”与“形”完美地结合在了一起.我们来看看题目有了怎么样的变化？

如图1，动点A在圆[x2+y2=1]上移动时，它与定点（3，0）的连线的中点P的轨迹方程是什么？

在这里引导学生用代数的经验去完成题目，进行总结，并展示笛卡儿的思路，进行对比，去感受笛卡儿的解析几何给我们现代生活带来的便利，并学习笛卡儿的创新精神.

3.提升知识高度

在教学之后，教师可升华课堂知识，将知识的传授提升到思想方法的渗透，将理性课堂提升到人文情怀的境界，将知识的学习提升到传承数学精神的层次.教师要善于发现与总结，要将课堂与数学材料的人文情怀与数学精神结合到一起，引导学生从理性思考跨越到感性精神上.

例如，在《求曲线的方程》的课程结尾，可以以下一段话总结，提升课堂的高度.

在今天的这一堂课里，我们“再次经历”了当年笛卡儿的经历，也遇到了同样的困难;我们感受到了数学家的数学思想，感受到了他们的奋斗精神.虽然我们不能完完全全重走他们当年的道路，但是思想能够产生思想，精神能够影响精神.因此，我们要从他的思想中汲取有价值的营养，融入我们新的思路，我们要站在巨人的肩膀上，再创辉煌！

处于现代社会的我们不可能完完全全重走数学家所经过的路程，但是我们也不能因此冷冻历史，而应该让历史鲜活起来，汲取其中的精华.教师作为教育的领路人，应注重在课堂中渗透数学文化，让学生在感受知识的创造过程中，促进思维的发展，领悟数学精神.

[   参   考   文   献   ]

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（责任编辑 黄桂坚）