太阳高度相关计算公式的推导与应用

河南 李跃进

地球运动是高中地理的重点和难点，它对学生的空间想象能力、逻辑思维能力要求很高。其中，太阳高度是指地球表面某地太阳光线与地平面的夹角。如图1所示，H为A地的太阳高度。太阳高度的大小与该地到太阳直射点的距离呈负相关。如图2所示，OA∠2>∠3。那么，太阳高度有哪些重要的计算公式？这些计算公式是如何推导出来的？又有哪些实际应用呢？笔者结合多年教学实践，对太阳高度相关计算公式进行了科学推导，并举例分析这些计算公式的实际应用，以当引玉之砖，供读者参考。

图1 太阳高度的概念示意图

图2 太阳高度的大小示意图

一、正午太阳高度计算公式的推导与应用

正午太阳高度是指地球表面某地正午12时的太阳高度。它是地球表面某地一天中最大的太阳高度，取值范围为0°≤H≤90°。

【公式】H=90°-|α-β|=90°-纬度差

说明：H表示观察点的正午太阳高度，纬度差是指观察点与太阳直射点的纬度差，α表示观察点纬度(0°≤α≤90°)，β表示太阳直射点纬度(-23.5°≤β≤23.5°)。观察点与太阳直射点位于同一半球时β取正值，位于不同半球时β取负值。

【推导】

1.理解纬度的概念与纬度差的计算

纬度是指地球表面某地的球半径(观察点与地球球心的连线)与赤道平面的夹角。如图3所示，A点纬度为北纬α，B点纬度为北纬β，C点纬度为南纬γ。纬度差的计算遵循“同纬相减、异纬相加”原则。两点均是南纬或均是北纬时，纬度差等于两点纬度的数值差；一点是南纬另一点是北纬时，纬度差等于两点纬度的数值和。如图3所示，A点与B点的纬度差为α-β，A点与C点的纬度差为α+γ，B点与C点的纬度差为β+γ。

图3 纬度的概念与纬度差的计算示意图

2.推导正午太阳高度计算公式

如图4所示，A点为观察点，B点为太阳直射点；α为A点纬度，β为B点纬度；以观察点在北半球为例。

(1)如图4甲所示，观察点、太阳直射点均在北半球，且观察点纬度大于等于太阳直射点纬度；

(2)如图4乙所示，观察点、太阳直射点均在北半球，且观察点纬度小于等于太阳直射点纬度；

(3)如图4丙所示，观察点在北半球，太阳直射点在南半球。

甲

乙

丙

地表的切线为地平面，地平面的垂线为地面法线，箭头为平行的太阳光线；∠1为A点入射太阳光线与地面法线的夹角，∠2为A点球半径OA与B点球半径OB的夹角；H为A点的正午太阳高度。

由图4可知，太阳光线为一组平行光线，∠1与∠2是平行线同位角，因此∠1=∠2，且∠1=90°-H。

(1)在图4甲中，α≥β，∠2=α-β，因此90°-H=α-β，即H=90°-(α-β)=90°-纬度差。

(2)在图4乙中，α≤β，∠2=β-α，因此90°-H=β-α，即H=90°-(β-α)=90°-纬度差。

(3)在图4丙中，∠2=α+β，因此90°-H=α+β，即H=90°-(α+β)=90°-纬度差。综上所述，H=90°-|α-β|=90°-纬度差。

同理，观察点在南半球，公式“H=90°-|α-β|=90°-纬度差”依然成立。

【推论】二分日正午太阳高度计算公式为“H=90°-观察点纬度”，赤道上正午太阳高度计算公式为“H=90°-太阳直射点纬度”。

【应用】在正午太阳高度计算公式中有正午太阳高度H、观察点纬度α、太阳直射点纬度β三个量，已知其中两个量必定能求出第三个量。

【例1】我国某学校地理兴趣小组运用简易方法测量当地正午太阳高度。图5为该学校二分二至日正午太阳光线与地平面夹角示意图，图中∠1-∠2=8°。据图可知，该学校所处的纬度约是

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图5 某学校二分二至日正午太阳光线与地平面夹角示意图

A.25°N B.35°N C.51°N D.61°N

【解析】设该学校所处的纬度约是北纬X，∠1与∠2之间的夹角是Y。由图5可知，二分二至日正午太阳光线由同一方向射过来，说明该学校位于北回归线以北，X>23.5°。由题意可知，∠1+Y+∠2、Y+∠2、∠2分别是夏至日、二分日、冬至日的正午太阳高度。由正午太阳高度计算公式可知，∠1+Y+∠2=90°-(X-23.5°)，Y+∠2=90°-X，∠2=90°-(X+23.5°)；由题意可知，∠1-∠2=8°。解方程组可得∠1=23.5°、∠2=15.5°、X=51°、Y=23.5°。故该地所处51°N，选C项。

二、午夜太阳高度计算公式的推导与应用

午夜太阳高度是指极昼地区某地午夜0时或24时的太阳高度。它是极昼地区某地一天中最小的太阳高度，取值范围为0°≤H0≤23.5°。

【公式】H0=(α+β)-90°

说明：H0表示观察点的午夜太阳高度，α表示观察点纬度(66.5°≤α≤90°)，β表示太阳直射点纬度(0°≤β≤23.5°)。

【推导】

1.理解正午太阳高度计算公式的实质

将图4中的赤道、经线、南极、北极、α角、β角、阴影、晨昏线去掉，可以得到三幅图解法求任意太阳高度示意图。如图6所示，该图中的圆可以理解为任意地球大圆，H可以理解为地球表面某地的任意太阳高度。

甲

乙

丙

如图6所示，A点为观察点，B点为太阳直射点；地表的切线为地平面，地平面的垂线为地面法线，箭头为平行的太阳光线；∠1为A点入射太阳光线与地面法线的夹角，∠2为A点球半径OA与B点球半径OB的夹角；H为A点的任意太阳高度。

由图6可知，太阳光线为一组平行光线，∠1与∠2是平行线同位角，因此∠1=∠2；又由图5可知，H=90°-∠1，即H=90°-∠2。因此，地球表面某地的太阳高度等于90°减去观察点球半径与太阳直射点球半径的夹角，这就是正午太阳高度计算公式的实质。

2.推导午夜太阳高度计算公式

以观察点在北半球极昼地区为例。

图7 图解法求午夜太阳高度示意图

如图7所示，A点为观察点，B点为太阳直射点；α为A点纬度(66.5°≤α≤90°)，β为B点纬度(0°≤α≤23.5°)；地表的切线为地平面，地平面的垂线为地面法线，箭头为平行的太阳光线；OA为A点球半径，OB为B点球半径；A点所在经线地方时为0时，H0为A点的午夜太阳高度。

根据“地球表面某地的太阳高度等于90°减去观察点球半径与太阳直射点球半径的夹角”可以推出H0=90°-∠AOB，由图7可知∠AOB=180°-(α+β)，因此H0=90°-[180°-(α+β)]=(α+β)-90°。

同理，观察点在南半球极昼地区，公式“H0=(α+β)-90°”依然成立。

【推论】在极昼地区，设H0表示观察点的午夜太阳高度，H12表示观察点的正午太阳高度，α表示观察点纬度(66.5°≤α≤90°)，β表示太阳直射点纬度(0°≤β≤23.5°)。由正午太阳高度计算公式可知H12=90°-(α-β)，由午夜太阳高度计算公式可知H0=(α+β)-90°，由此可以推出H12+H0=2β、H12-H0=(90°-α)×2。

【应用】

【例2】图8是某地冬至日太阳高度变化曲线图。据图示信息可知，图中X的数值为

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图8 某地冬至日太阳高度变化曲线图

A.13° B.14° C.15° D.16°

【解析】由图8可知，该地冬至日太阳高度一直大于0°，说明该地冬至日出现了极昼现象，因此该地位于南极圈以南地区；且该地正午太阳高度应为图中曲线数高点，即34°，午夜太阳高度为图中曲线最低处，即X，太阳直射点纬度为23.5°S。解法一：设该地纬度为Y(66.5°S≤Y≤90°S)，由正午太阳高度计算公式可知，34°=90°-(Y-23.5°)，求得Y=79.5°S。由午夜太阳高度计算公式可知，X=(Y+23.5°)-90°=(79.5°+23.5°)-90°=13°。解法二：由午夜太阳高度计算公式的推论可知，34°+X=23.5°×2，求得X=13°。故A选项正确。

三、正午太阳高度年变化幅度计算公式的推导与应用

正午太阳高度年变化幅度是指地球表面某地一年中最大正午太阳高度与最小正午太阳高度之间的差值。

图9 正午太阳高度年变化幅度与观察点纬度关系示意图

【公式】如图9所示，可分为以下三种情况：

(1)观察点位于南北回归线之间：

ΔH=Hmax-Hmin=X+23.5°；

(2)观察点位于回归线与极圈之间：

ΔH=Hmax-Hmin=23.5°×2=47°；

(3)观察点位于极圈与极点之间：

ΔH=Hmax-Hmin=90°-X+23.5°。

说明：ΔH表示正午太阳高度年变化幅度，Hmax表示一年中的最大正午太阳高度，Hmin表示一年中的最小正午太阳高度，X表示观察点纬度。

【推导】以观察点在北半球为例。

图10 观察点正午太阳高度最大值与最小值示意图

(1)观察点位于赤道与北回归线之间。如图10所示，A点位于赤道与北回归线之间，设A点的纬度为北纬X。一年中A点有太阳直射现象，Hmax=90°；A点冬至日正午太阳高度最小，Hmin=90°-(北纬X-23.5°S)。因此，A点ΔH=Hmax-Hmin=90°-[90°-(北纬X-23.5°S)]=X+23.5°。

(2)观察点位于北回归线与北极圈之间。如图10所示，B点位于北回归线与北极圈之间，设B点的纬度为北纬X。一年中B点夏至日正午太阳高度最大，Hmax=90°-(北纬X-23.5°N)；B点冬至日正午太阳高度最小，Hmin=90°-(北纬X-23.5°S)。因此，A点ΔH=Hmax-Hmin=[90°-(北纬X-23.5°N)]-[90°-(北纬X-23.5°S)]=47°。

(3)观察点位于北极圈与北极点之间。如图10所示，C点位于北极圈与北极点之间，设C点的纬度为北纬X。一年中C点有极夜现象，Hmin=0°；C点夏至日正午太阳高度最大，Hmax=90°-(北纬X-23.5°N)。因此，A点ΔH=Hmax-Hmin=[90°-(北纬X-23.5°N)]-0°=90°-X+23.5°。

同理，观察点在南半球，上述三种情况的公式依然成立。

【应用】

【例3】图11是某地地方时12时的太阳周年位置轨迹示意图。若甲、乙两个位置的太阳高度之和为90°，则乙位置太阳高度为

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图11 某地地方时12时的太阳周年位置轨迹示意图

A.21.5° B.23.5° C.43° D.47°

【解析】由图11可知，甲位置的太阳高度是该地一年内的最大正午太阳高度Hmax，乙位置的太阳高度是该地一年内的最小正午太阳高度Hmin。由图可知，Hmin>0°，说明该地不在极圈与极点之间；由题意可知，Hmax+Hmin=90°，Hmin>0°，可推出Hmax<90°，说明该地不在南北回归线之间。因此，该地位于回归线与极圈之间，正午太阳高度年变化幅度ΔH=Hmax-Hmin=47°。由Hmax+Hmin=90°、Hmax-Hmin=47°可求得Hmax=68.5°、Hmin=21.5°。故选A项。

四、极点太阳高度计算公式的推导与应用

在极昼地区太阳始终位于地平线以上，一天内太阳直射在同一条纬线，而极点与同一条纬线的距离是不变的，即极点与太阳直射点的距离是不变的。因此，极点一天内太阳高度不变，如图12所示。

图12 极昼地区极点太阳视运动示意图

【公式】H=β

说明：H表示极点太阳高度，β表示太阳直射点纬度，极点与太阳直射点在同一半球。

【推导】以北极地区出现极昼现象为例。

设H0表示北极点的午夜太阳高度，H12表示北极点的正午太阳高度，H表示北极点的任意太阳高度，α表示北极点纬度(α=90°N)，β表示太阳直射点纬度(0°≤β≤23.5°N)。

由正午太阳高度计算公式可知，H12=90°-(α-β)=90°-(90°-β)=β；由午夜太阳高度计算公式可知H0=(α+β)-90°=(90°+β)-90°=β。因此，H0=H12=β。由此可知，极昼地区北极点一天内的太阳高度不变，且等于太阳直射点纬度，即H=β。

同理，南极地区出现极昼现象，公式H=β依然成立。

【应用】

【例4】图13中L表示北半球某地太阳高度的日变化状况。据图示信息可知，此日江苏省扬州市(32.5°N)的正午太阳高度是

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图13 北半球某地太阳高度的日变化状况

A.32.5° B.45.5° C.66.5° D.79.5°

【解析】由图13可知，北半球该地太阳高度一天内不变，说明该地是北极点；北半球该地太阳高度等于22°，说明北极点太阳高度等于22°。由极点太阳高度计算公式可知，该日太阳直射点纬度是22°N。由正午太阳高度计算公式可知，扬州市的正午太阳高度为H=90°-(32.5°-22°)=79.5°。故D选项正确。

在地理学科中，太阳高度计算是一类重要的地理计算题，主要考查地球运动的地理意义，可以用来解决地理坐标测算、影子长度计算、楼房间距设计、太阳能热水器安装等日常问题，运用计算公式会收到事半功倍的效果，因此我们必须熟练掌握太阳高度的相关计算公式。对这些计算公式，若只是死记硬背、机械照搬，则容易出现记忆遗忘、理解偏差，遇到新问题就束手无策；若掌握了推导过程，知其所以然，则可以增强记忆、加深理解，运用起来方能得心应手。